integral of sin^4(t/2)

Lösung

\int sin^{4} (\frac{t}{2}) d t

2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{t}{2}) cos (\frac{t}{2}) + \frac{3}{16} (t - sin (t))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (\frac{t}{2}) d t

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = \frac{t}{2}

ein

= 2 (- \frac{cos ( \frac{t}{2} ) sin ^{3} ( \frac{t}{2} )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (\frac{t}{2} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{t}{2})))

Vereinfache

2 (- \frac{cos ( \frac{t}{2} ) sin ^{3} ( \frac{t}{2} )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (\frac{t}{2} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{t}{2}))) : 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{t}{2}) cos (\frac{t}{2}) + \frac{3}{16} (t - sin (t)))

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{t}{2}) cos (\frac{t}{2}) + \frac{3}{16} (t - sin (t)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{t}{2}) cos (\frac{t}{2}) + \frac{3}{16} (t - sin (t))) + C

\int (\frac{1}{x ^{\frac{3}{2}}} + 1) d x

\int (x^{\frac{3}{2}} + 12 x + 2) d x

\int \frac{1}{1 - x + 3 1 - x} d x

\int \frac{6}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{2} + 4 )} d x

\int \frac{6 x ^{3}}{x ^{4} + 8 x ^{2} + 16} d x