What is the integral of 2e^{-2x}(x^2-2x+1) ?

The integral of 2e^{-2x}(x^2-2x+1) is -e^{-2x}x^2+e^{-2x}x-1/2 e^{-2x}+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral of 2e^{-2x}(x^2-2x+1)

\int 2 e^{- 2 x} (x^{2} - 2 x + 1) d x

- e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C

Solution steps

\int 2 e^{- 2 x} (x^{2} - 2 x + 1) d x

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- 2 x} (x^{2} - 2 x + 1) d x

Expand

e^{- 2 x} (x^{2} - 2 x + 1) : e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}

= 2 \cdot \int e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} d x

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int e^{- 2 x} x^{2} d x - \int 2 e^{- 2 x} x d x + \int e^{- 2 x} d x)

\int e^{- 2 x} x^{2} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})

\int 2 e^{- 2 x} x d x = - e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

= 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - (- e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \frac{1}{2} e^{- 2 x})

Simplify

2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - (- e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \frac{1}{2} e^{- 2 x}) : - e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

= - e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

Add a constant to the solution

= - e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C

What is the integral of 2e^{-2x}(x^2-2x+1) ?
The integral of 2e^{-2x}(x^2-2x+1) is -e^{-2x}x^2+e^{-2x}x-1/2 e^{-2x}+C