integral from 0 to 1 of 8xsqrt(1-x^4)

Lời Giải

\int_{0}^{1} 8 x 1 - x^{4} d x

π

Số thập phân

3.14159 \dots

Các bước giải pháp

\int_{0}^{1} 8 x 1 - x^{4} d x

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int_{0}^{1} x 1 - x^{4} d x

Rút gọn

x^{4} : (x^{2})^{2}

= 8 \cdot \int_{0}^{1} x 1 - (x^{2})^{2} d x

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= 8 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1 - u ^{2}}{2} d u

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u

Áp dụng phép thay thế lượng giác

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2} (v) d v

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + cos (2 v) d v

Áp dụng quy tắc tổng:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d v + \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d v = \frac{π}{2}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v = 0

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0)

Rút gọn

8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0) : π

= π