integral from 0 to t of cos(u)cos(t-u)

Lösung

\int_{0}^{t} cos (u) cos (t - u) d u

\frac{1}{2} (t cos (t) + sin (t))

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{t} cos (u) cos (t - u) d u

Faktorisiere

t - u : - (- t + u)

= \int_{0}^{t} cos (- (- t + u)) cos (u) d u

Vereinfache

cos (- (- t + u)) cos (u) : cos (- t + u) cos (u)

= \int_{0}^{t} cos (- t + u) cos (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int_{0}^{t} \frac{1}{2} (cos (- t + 2 u) + cos (- t)) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{t} cos (- t + 2 u) + cos (- t) d u

Vereinfache

cos (- t + 2 u) + cos (- t) : cos (t) + cos (- t + 2 u)

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{t} cos (t) + cos (- t + 2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{0}^{t} cos (t) d u + \int_{0}^{t} cos (- t + 2 u) d u)

\int_{0}^{t} cos (t) d u = t cos (t)

\int_{0}^{t} cos (- t + 2 u) d u = sin (t)

= \frac{1}{2} (t cos (t) + sin (t))

\int_{0}^{4} (2 x^{2} - 3 x y + y^{2}) d x

\int_{1}^{\infty} x e^{- 12 x} d x

\int_{0}^{1} \frac{1}{t} d t

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x cos (8 x) d x

\int_{0}^{5} \frac{x}{25} d x