integral from 0 to t of re^{t-r}

解答

\int_{0}^{t} r e^{t - r} d r

e^{t} (- t e^{- t} - e^{- t} + 1)

求解步骤

\int_{0}^{t} r e^{t - r} d r

化简

e^{t - r} : e^{t} e^{- r}

= \int_{0}^{t} e^{t} e^{- r} r d r

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{t} \cdot \int_{0}^{t} e^{- r} r d r

使用分布积分法

= e^{t} [- e^{- r} r - \int - e^{- r} d r]_{0}^{t}

\int - e^{- r} d r = e^{- r}

= e^{t} [- e^{- r} r - e^{- r}]_{0}^{t}

带入上下限计算后得:

- t e^{- t} - e^{- t} + 1

= e^{t} (- t e^{- t} - e^{- t} + 1)

\int_{1}^{2} \frac{4}{6} + 4 z d z

\int_{0}^{3} 1 + 4 x^{2} + x^{4} d x

\int_{x}^{0} cos (u) d u

\int_{1}^{2} \frac{3}{7} x^{2} x d x

\int_{0}^{2 π} e^{c o s (x)} d x