integral from 0 to 1 of sqrt(1+1/(x^2))

解

\int_{0}^{1} 1 + \frac{1}{x ^{2}} d x

は発散する

解答ステップ

\int_{0}^{1} 1 + \frac{1}{x ^{2}} d x

結合

1 + \frac{1}{x ^{2}} : \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}}

= \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} d x

簡素化

\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} : \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}}

= \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} d x

x^{2} = (x), （ x \geq 0

と仮定

）

= \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + 1}{x} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{1}^{2} \frac{u ^{2}}{u ^{2} - 1} d u

因数

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int_{1}^{2} \frac{u ^{2}}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int_{1}^{2} \frac{u ^{2}}{- u ^{2} + 1} d u

\frac{u ^{2}}{- u ^{2} + 1} = \frac{1}{- u ^{2} + 1} - 1

= - \int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 1} - 1 d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u - \int_{1}^{2} 1 d u)

\int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u =

は発散する

式の一部が発散する場合は, 式全体が発散する

= は発散する