integral from 1 to 2 of (xe^{x/y})/(y^2)

解

\int_{1}^{2} \frac{x e ^{\frac{x}{y}}}{y ^{2}} d y

- e^{\frac{x}{2}} + e^{x}

解答ステップ

\int_{1}^{2} \frac{x e ^{\frac{x}{y}}}{y ^{2}} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x \cdot \int_{1}^{2} \frac{e ^{\frac{x}{y}}}{y ^{2}} d y

u置換積分法を適用する

= x \cdot \int_{x}^{\frac{x}{2}} - \frac{e ^{u}}{x} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x (- \frac{1}{x} \cdot \int_{x}^{\frac{x}{2}} e^{u} d u)

共通積分を使用する:

\int e^{u} d u = e^{u}

= x (- \frac{1}{x} [e^{u}]_{x}^{\frac{x}{2}})

簡素化

x (- \frac{1}{x} [e^{u}]_{x}^{\frac{x}{2}}) : - [e^{u}]_{x}^{\frac{x}{2}}

= - [e^{u}]_{x}^{\frac{x}{2}}

限度を計算する:

e^{\frac{x}{2}} - e^{x}

= - (e^{\frac{x}{2}} - e^{x})

簡素化

= - e^{\frac{x}{2}} + e^{x}