integral of e^{-1/(2x)}

解

\int e^{- \frac{1}{2 x}} d x

e^{- \frac{1}{2 x}} x + \frac{1}{2} Ei (- \frac{1}{2 x}) + C

解答ステップ

\int e^{- \frac{1}{2 x}} d x

u置換積分法を適用する

= \int e^{- \frac{1}{u}} \frac{1}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- \frac{1}{u}} d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{e ^{v}}{v ^{2}} d v

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{v}}{v} - \int - \frac{e ^{v}}{v} d v)

\int - \frac{e ^{v}}{v} d v = - Ei (v)

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{v}}{v} - (- Ei (v)))

代用を戻す

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{- \frac{1}{2 x}}}{- \frac{1}{2 x}} - (- Ei (- \frac{1}{2 x})))

簡素化

\frac{1}{2} (- \frac{e ^{- \frac{1}{2 x}}}{- \frac{1}{2 x}} - (- Ei (- \frac{1}{2 x}))) : e^{- \frac{1}{2 x}} x + \frac{1}{2} Ei (- \frac{1}{2 x})

= e^{- \frac{1}{2 x}} x + \frac{1}{2} Ei (- \frac{1}{2 x})

定数を解答に追加する

= e^{- \frac{1}{2 x}} x + \frac{1}{2} Ei (- \frac{1}{2 x}) + C