integral of 1/((9+x^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{9 ( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{9 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{9} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{9} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{3} x)

ein

= \frac{1}{9} sin (arctan (\frac{1}{3} x))

Vereinfache

\frac{1}{9} sin (arctan (\frac{1}{3} x)) : \frac{x}{9 ( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{9 ( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{9 ( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

d er i v a t i v e \frac{x}{8 + x}

in v erse l a pl a ce \frac{e ^{- 3 s}}{s ^{2}}

l a pl a ce t r an s f or m (t + 1)^{2}

\int \frac{4 x + 6}{( x ^{2} + 2 ) \cdot ( x + 2 )} d x

d er i v a t i v e f (x) = x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}