integral of 1/(sec^4(1/4 x))

Lösung

\int \frac{1}{sec ^{4} ( \frac{1}{4} x )} d x

4 (cos^{3} (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) + \frac{3}{32} (x - sin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{sec ^{4} ( \frac{1}{4} x )} d x

Vereinfache

\frac{1}{sec ^{4} ( \frac{1}{4} x )} : cos^{4} (\frac{x}{4})

= \int cos^{4} (\frac{x}{4}) d x

Wende U-Substitution an

= \int cos^{4} (u) \cdot 4 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int cos^{4} (u) d u

Vereinfache

cos^{4} (u) : cos^{3} (u) cos (u)

= 4 \cdot \int cos^{3} (u) cos (u) d u

Wende die partielle Integration an

= 4 (cos^{3} (u) sin (u) - \int - 3 cos^{2} (u) sin^{2} (u) d u)

\int - 3 cos^{2} (u) sin^{2} (u) d u = - \frac{3}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

= 4 (cos^{3} (u) sin (u) - (- \frac{3}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))))

Setze in

u = \frac{x}{4}

ein

= 4 (cos^{3} (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) - (- \frac{3}{8} (\frac{x}{4} - \frac{1}{4} sin (4 \cdot \frac{x}{4}))))

Vereinfache

4 (cos^{3} (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) - (- \frac{3}{8} (\frac{x}{4} - \frac{1}{4} sin (4 \cdot \frac{x}{4})))) : 4 (cos^{3} (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) + \frac{3}{32} (x - sin (x)))

= 4 (cos^{3} (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) + \frac{3}{32} (x - sin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (cos^{3} (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) + \frac{3}{32} (x - sin (x))) + C