What is the integral of e^{-kx}cos(wx) ?

The integral of e^{-kx}cos(wx) is (we^{-kx}sin(wx))/(w^2+k^2)-(ke^{-kx}cos(wx))/(w^2+k^2)+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral of e^{-kx}cos(wx)

\int e^{- k x} cos (w x) d x

\frac{w e ^{- k x} sin ( w x )}{w ^{2} + k ^{2}} - \frac{k e ^{- k x} cos ( w x )}{w ^{2} + k ^{2}} + C

Solution steps

\int e^{- k x} cos (w x) d x

Apply Integration By Parts

= e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) - \int - k e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) d x

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- k \frac{1}{w} \cdot \int e^{- k x} sin (w x) d x)

Simplify

- k \frac{1}{w} : - \frac{k}{w}

= e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{k}{w} \cdot \int e^{- k x} sin (w x) d x)

Apply Integration By Parts

= e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k x} \frac{1}{w} cos (w x) - \int k e^{- k x} \frac{1}{w} cos (w x) d x))

Take the constant out:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k x} \frac{1}{w} cos (w x) - k \frac{1}{w} \cdot \int e^{- k x} cos (w x) d x))

Simplify

k \frac{1}{w} : \frac{k}{w}

= e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{k}{w} \cdot \int e^{- k x} cos (w x) d x))

Therefore

\int e^{- k x} cos (w x) d x = e^{- k x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{k}{w} \cdot \int e^{- k x} cos (w x) d x))

Isolate

\int e^{- k x} cos (w x) d x

= \frac{w e ^{- k x} sin ( w x )}{w ^{2} + k ^{2}} - \frac{k e ^{- k x} cos ( w x )}{w ^{2} + k ^{2}}

Add a constant to the solution

= \frac{w e ^{- k x} sin ( w x )}{w ^{2} + k ^{2}} - \frac{k e ^{- k x} cos ( w x )}{w ^{2} + k ^{2}} + C

What is the integral of e^{-kx}cos(wx) ?
The integral of e^{-kx}cos(wx) is (we^{-kx}sin(wx))/(w^2+k^2)-(ke^{-kx}cos(wx))/(w^2+k^2)+C