integral of cos(x)sqrt(9-sin^2(x))

Lösung

\int cos (x) 9 - sin^{2} (x) d x

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} sin (x)))) + C

Schritte zur Lösung

\int cos (x) 9 - sin^{2} (x) d x

Wende U-Substitution an

= \int 9 - u^{2} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 9 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} sin (x))))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} sin (x)))) : \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} sin (x))))

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} sin (x))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} sin (x)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} sin (x)))) + C