intégrale de xsqrt(1+x^4)

Solution

\int x 1 + x^{4} d x

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} 1 + x^{4} + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + x^{4}) + C

étapes des solutions

\int x 1 + x^{4} d x

Simplifier

x^{4} : (x^{2})^{2}

= \int x 1 + (x^{2})^{2} d x

Appliquer l'intégration par subsitution

= \int \frac{1 + u ^{2}}{2} d u

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + u^{2} d u

Appliquer la subsitution trigonométrique

= \frac{1}{2} \cdot \int sec^{3} (v) d v

Appliquer une réduction intégrale

= \frac{1}{2} (\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= \frac{1}{2} (\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Rétrosubstituer

= \frac{1}{2} (\frac{sec ^{2} ( arctan ( x ^{2} ) ) sin ( arctan ( x ^{2} ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (x^{2})) + sec (arctan (x^{2})))

Simplifier

\frac{1}{2} (\frac{sec ^{2} ( arctan ( x ^{2} ) ) sin ( arctan ( x ^{2} ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (x^{2})) + sec (arctan (x^{2}))) : \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} 1 + x^{4} + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + x^{4})

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} 1 + x^{4} + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + x^{4})

Ajouter une constante à la solution

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} 1 + x^{4} + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + x^{4}) + C