integral of (x^3-1)/(x^3+x)

解

\int \frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + x} d x

- ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - arctan (x) + x + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + x} d x

\frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + x} = \frac{- x - 1}{x ^{3} + x} + 1

= \int \frac{- x - 1}{x ^{3} + x} + 1 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{- x - 1}{x ^{3} + x} d x + \int 1 d x

\int \frac{- x - 1}{x ^{3} + x} d x = - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - arctan (x)

\int 1 d x = x

= - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - arctan (x) + x

定数を解答に追加する

= - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 - arctan (x) + x + C