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integral of 1/(y^2-y^{-1)}

Lösung

\int \frac{1}{y ^{2} - y ^{- 1}} d y

Lösung

\frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{y ^{2} - y ^{- 1}} d y

Vereinfache

\frac{1}{y ^{2} - y ^{- 1}} : \frac{y}{y ^{3} - 1}

= \int \frac{y}{y ^{3} - 1} d y

Ermittle den Partialbruch von

\frac{y}{y ^{3} - 1} : \frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )}

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y + \int \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

\int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y = \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣

\int \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y = \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C

Graph

Beliebte Beispiele

y^{'''}+3y^{''}-4y=e^x

y^{^{'''}} + 3 y^{^{''}} - 4 y = e^{x}

integral of (3y)/x

\int \frac{3 y}{x}

derivative of cos(x-1+1/2 x^2)

\frac{d}{d x} (cos (x) - 1 + \frac{1}{2} x^{2})

derivative f(x)= 1/(4x^2+2x)

d er i v a t i v e f (x) = \frac{1}{4 x ^{2} + 2 x}

derivative (x^2+2)(x-5)

d er i v a t i v e (x^{2} + 2) (x - 5)