integral of (x-1)/((x-1)^2+1)

解

\int \frac{x - 1}{( x - 1 ) ^{2} + 1} d x

\frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 2 + C

解答ステップ

\int \frac{x - 1}{( x - 1 ) ^{2} + 1} d x

拡張

\frac{x - 1}{( x - 1 ) ^{2} + 1} : \frac{x}{( x - 1 ) ^{2} + 1} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} + 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x}{( x - 1 ) ^{2} + 1} d x - \int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} + 1} d x

\int \frac{x}{( x - 1 ) ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 2 + arctan (x - 1)

\int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} + 1} d x = arctan (x - 1)

= \frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 2 + arctan (x - 1) - arctan (x - 1)

簡素化

= \frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 2

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 2 + C