integral of (x^2)/(sqrt(25-x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{25 - x ^{2}} d x

\frac{25}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{25 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 25 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 25 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 25 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 25 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{5} x)

ein

= 25 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

Vereinfache

25 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) : \frac{25}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

= \frac{25}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{25}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

\frac{d}{d x} (x^{y} + y^{x})

t an g e n t f (x) = x^{3} - 3 x + 2, at x = 3

n = 1 \sum \infty 7 (\frac{1}{10})^{n}

\frac{d}{d x} (sin (1 - x))

in v erse l a pl a ce \frac{1}{( s + 5 ) ^{2}}