inverselaplace (s+5)/(s^2+5s+9)

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{s + 5}{s ^{2} + 5 s + 9}

e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{11 t}{2}) + \frac{5 e ^{- \frac{5 t}{2}} sin ( \frac{11 t}{2} )}{11}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{s + 5}{s ^{2} + 5 s + 9}}

展开

\frac{s + 5}{s ^{2} + 5 s + 9} : \frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}}} + \frac{5}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}}}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}}} : e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{11 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{11}{4}}} : e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{2}{11} sin (\frac{11 t}{2})

= e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{11 t}{2}) + \frac{5}{2} e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{2}{11} sin (\frac{11 t}{2})

整理

e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{11 t}{2}) + \frac{5}{2} e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{2}{11} sin (\frac{11 t}{2}) : e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{11 t}{2}) + \frac{5 e ^{- \frac{5 t}{2}} sin ( \frac{11 t}{2} )}{11}

= e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{11 t}{2}) + \frac{5 e ^{- \frac{5 t}{2}} sin ( \frac{11 t}{2} )}{11}

y^{^{''}} + 4 y = t^{2} + 3 e^{t}, y (0) = 0, y^{^{'}} (0) = 2

\int y^{3} d y

t an g e n t y = (\frac{( x - 1 )}{( x + 1 )})^{2}, at x = 0

2 \frac{d y}{d x} + 10 y = 1

\int_{0}^{3} 9 - x^{2} d x