integral of 1/(y^3+1)

Lösung

\int \frac{1}{y ^{3} + 1} d y

\frac{1}{3} ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{y ^{3} + 1} d y

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{y ^{3} + 1} : \frac{1}{3 ( y + 1 )} + \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )}

= \int \frac{1}{3 ( y + 1 )} + \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{3 ( y + 1 )} d y + \int \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y

\int \frac{1}{3 ( y + 1 )} d y = \frac{1}{3} ln ∣ y + 1 ∣

\int \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y = \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3}))

= \frac{1}{3} ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} - 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y - 1}{3})) + C

\int \frac{10 x ^{2} - 9 x + 20}{x ^{3} + 4 x} d x

x y^{^{'}} + x y - y^{^{'}} - 2 y = 0

\int - 2 tan (2 x) d x

x^{2} y^{^{'}} + x y = 7

x \to 1 + lim (x^{2} + 2 x)