integral of 1/(sqrt((x^2-6x+25)^3))

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 6 x + 25 ) ^{3}} d x

\frac{x - 3}{16 x ^{2} - 6 x + 25} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 6 x + 25 ) ^{3}} d x

(x^{2} - 6 x + 25)^{3} = (x^{2} - 6 x + 25)^{\frac{3}{2}},

angenommen

(x^{2} - 6 x + 25) \geq 0

= \int \frac{1}{( x ^{2} - 6 x + 25 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 6 x + 25 : (x - 3)^{2} + 16

= \int \frac{1}{( ( x - 3 ) ^{2} + 16 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 16 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{16 sec ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{16} \cdot \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{16} sin (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{16} sin (arctan (\frac{1}{4} (x - 3)))

Vereinfache

\frac{1}{16} sin (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) : \frac{x - 3}{16 x ^{2} - 6 x + 25}

= \frac{x - 3}{16 x ^{2} - 6 x + 25}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x - 3}{16 x ^{2} - 6 x + 25} + C