laplacetransform e^{-t}sin^2(t)

解

ラプラス変換

e^{- t} sin^{2} (t)

\frac{2}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 5 )}

解答ステップ

L {e^{- t} sin^{2} (t)}

三角関数の公式を使用して書き換える

L {\frac{1}{2} e^{- t} - \frac{1}{2} e^{- t} cos (2 t)}

ラプラス変形の線形性を使用する:

関数

f (t), g (t)

と定数

a, b : L {a \cdot f (t) + b \cdot g (t)} = a \cdot L {f (t)} + b \cdot L {g (t)}

= \frac{1}{2} L {e^{- t}} - \frac{1}{2} L {e^{- t} cos (2 t)}

L {e^{- t}} : \frac{1}{s + 1}

L {e^{- t} cos (2 t)} : \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}

簡素化

\frac{1}{2} \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{2} \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} : \frac{2}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 5 )}

= \frac{2}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 5 )}