inverselaplace (10)/((s(s^2+2s+20)))

解

逆ラプラス

\frac{10}{( s ( s ^{2} + 2 s + 20 ) )}

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- t} cos (19 t) - \frac{1}{2 19} e^{- t} sin (19 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{10}{( s ( s ^{2} + 2 s + 20 ) )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{10}{s ( s ^{2} + 2 s + 20 )} : \frac{1}{2 s} + \frac{- s - 2}{2 ( s ^{2} + 2 s + 20 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} + \frac{- s - 2}{2 ( s ^{2} + 2 s + 20 )}}

拡張

\frac{- s - 2}{2 ( s ^{2} + 2 s + 20 )} : - \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 19} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 19}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} - \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 19} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 19}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 19}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 19}}

L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} : \frac{1}{2} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 19}} : e^{- t} cos (19 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 19}} : e^{- t} \frac{1}{19} sin (19 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- t} cos (19 t) - \frac{1}{2} e^{- t} \frac{1}{19} sin (19 t)

改良

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- t} cos (19 t) - \frac{1}{2} e^{- t} \frac{1}{19} sin (19 t) : \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- t} cos (19 t) - \frac{1}{2 19} e^{- t} sin (19 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- t} cos (19 t) - \frac{1}{2 19} e^{- t} sin (19 t)