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sin(2x)=sqrt(3)sin(x)

Lösung

sin (2 x) = 3 sin (x)

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (2 x) = 3 sin (x)

Subtrahiere

3 sin (x)

von beiden Seiten

sin (2 x) - 3 sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 x) - sin (x) 3

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 3 sin (x)

- sin (x) 3 + 2 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

- sin (x) 3 + 2 cos (x) sin (x) : sin (x) (- 3 + 2 cos (x))

- sin (x) 3 + 2 cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (- 3 + 2 cos (x))

sin (x) (- 3 + 2 cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) = 0 or - 3 + 2 cos (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

- 3 + 2 cos (x) = 0 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

- 3 + 2 cos (x) = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

- 3 + 2 cos (x) = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

- 3 + 2 cos (x) + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 cos (x) = 3

2 cos (x) = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (x) = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn