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Populaire Trigonométrie >

2sin^3(x)+sin^2(x)-2sin(x)-1=0

Solution

2 sin^{3} (x) + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Solution

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Degrés

x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin^{3} (x) + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Résoudre par substitution

2 sin^{3} (x) + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Soit :

sin (x) = u

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 = 0

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - 1, u = 1

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 = 0

Factoriser

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 : (2 u + 1) (u + 1) (u - 1)

2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1

= (2 u^{3} + u^{2}) + (- 2 u - 1)

Factoriser

- 1

depuis

- 2 u - 1 : - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (2 u + 1)

Factoriser

u^{2}

depuis

2 u^{3} + u^{2} : u^{2} (2 u + 1)

2 u^{3} + u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 2 u u^{2} + u^{2}

Factoriser le terme commun

u^{2}

= u^{2} (2 u + 1)

= - (2 u + 1) + u^{2} (2 u + 1)

Factoriser le terme commun

2 u + 1

= (2 u + 1) (u^{2} - 1)

Factoriser

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (2 u + 1) (u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u + 1) (u - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

2 u + 1 = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Résoudre

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 u = - 1

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Résoudre

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Les solutions sont

u = - \frac{1}{2}, u = - 1, u = 1

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = - 1, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = - 1, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Solutions générales pour

sin (x) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Solutions générales pour

sin (x) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

5cos^2(θ)+cos(θ)=0

5 cos^{2} (θ) + cos (θ) = 0

solvefor x,z=sin(xy)

so l v e f or x, z = sin (x y)

3sec(x)+3tan(x)=3

3 sec (x) + 3 tan (x) = 3

tan(x)+cot(x)=4sin(2x)

tan (x) + cot (x) = 4 sin (2 x)

tan(θ)=(-sqrt(3))/3

tan (θ) = \frac{- 3}{3}