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Popular Trigonometria >

4sin(x/2)+2cos(x)=3

Solução

4 sin (\frac{x}{2}) + 2 cos (x) = 3

Solução

x = \frac{π}{3} + 4 πn, x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Passos da solução

4 sin (\frac{x}{2}) + 2 cos (x) = 3

Subtrair

3

de ambos os lados

4 sin (\frac{x}{2}) + 2 cos (x) - 3 = 0

Sea:

u = \frac{x}{2}

4 sin (u) + 2 cos (2 u) - 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 3 + 2 cos (2 u) + 4 sin (u)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 3 + 2 (1 - 2 sin^{2} (u)) + 4 sin (u)

Simplificar

- 3 + 2 (1 - 2 sin^{2} (u)) + 4 sin (u) : 4 sin (u) - 4 sin^{2} (u) - 1

- 3 + 2 (1 - 2 sin^{2} (u)) + 4 sin (u)

Expandir

2 (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 - 4 sin^{2} (u)

2 (1 - 2 sin^{2} (u))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = 2 sin^{2} (u)

= 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 sin^{2} (u)

Simplificar

2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 sin^{2} (u) : 2 - 4 sin^{2} (u)

2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 sin^{2} (u)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 \cdot 2 sin^{2} (u)

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 2 - 4 sin^{2} (u)

= 2 - 4 sin^{2} (u)

= - 3 + 2 - 4 sin^{2} (u) + 4 sin (u)

Somar/subtrair:

- 3 + 2 = - 1

= 4 sin (u) - 4 sin^{2} (u) - 1

= 4 sin (u) - 4 sin^{2} (u) - 1

- 1 + 4 sin (u) - 4 sin^{2} (u) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + 4 sin (u) - 4 sin^{2} (u) = 0

Sea:

sin (u) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrair:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

A solução para a equação de segundo grau é:

u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = sin (u)

sin (u) = \frac{1}{2}

sin (u) = \frac{1}{2}

sin (u) = \frac{1}{2} : u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (u) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (u) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Substituir na equação

u = \frac{x}{2}

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

2 \cdot \frac{π}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{π}{3} + 4 πn

x = \frac{π}{3} + 4 πn

x = \frac{π}{3} + 4 πn

x = \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{5 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{6}

Multiplicar os números:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{5 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = \frac{π}{3} + 4 πn, x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

Gráfico

Exemplos populares