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Popular Trigonometria >

sec(x)=tan(x)+1

Solução

sec (x) = tan (x) + 1

Solução

x = 2 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

sec (x) = tan (x) + 1

Subtrair

tan (x) + 1

de ambos os lados

sec (x) - tan (x) - 1 = 0

Expresar com seno, cosseno

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 : \frac{1 - sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 1

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 - sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin (x) - cos (x) = 0

Adicionar

cos (x)

a ambos os lados

1 - sin (x) = cos (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(1 - sin (x))^{2} = cos^{2} (x)

Subtrair

cos^{2} (x)

de ambos os lados

(1 - sin (x))^{2} - cos^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(1 - sin (x))^{2} - cos^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

(1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

(1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x))

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - (1 - sin^{2} (x))

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x)

Simplificar

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x) : 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) + 1 - 1

Somar elementos similares:

sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

- 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} - 2 u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

assumindo que

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Somar:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Subtrair:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 1, u = 0

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = 0

sin (x) = 1, sin (x) = 0

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

sec (x) = tan (x) + 1

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Para

sec (x) = tan (x) + 1

inserir

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) = tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 1

Simplificar

\infty = \infty

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

2 πn :

Verdadeiro

2 πn

Inserir

n = 1

2 π 1

Para

sec (x) = tan (x) + 1

inserir

x = 2 π 1

sec (2 π 1) = tan (2 π 1) + 1

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Inserir

n = 1

π + 2 π 1

Para

sec (x) = tan (x) + 1

inserir

x = π + 2 π 1

sec (π + 2 π 1) = tan (π + 2 π 1) + 1

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

Dado que a equação é indefinida para:

\frac{π}{2} + 2 πn

x = 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

5cos(2x)+1=3cos(2x)

2sin(4x)+6=5

7sin(x)tan(x)=-8tan(x)

sin^2(x)+2sin(x)-3=0

sin^2(x)-tan(x)cos^2(x)=0