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cos^4(2x)= 9/16

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Lösung

cos4(2x)=169​

Lösung

x=12π​+πn,x=1211π​+πn,x=125π​+πn,x=127π​+πn
+1
Grad
x=15∘+180∘n,x=165∘+180∘n,x=75∘+180∘n,x=105∘+180∘n
Schritte zur Lösung
cos4(2x)=169​
Löse mit Substitution
cos4(2x)=169​
Angenommen: cos(2x)=uu4=169​
u4=169​:u=23​​,u=−23​​,u=i23​​,u=−i23​​
u4=169​
Schreibe die Gleichung um mit v=u2 und v2=u4v2=169​
Löse v2=169​:v=169​​,v=−169​​
v2=169​
Für (g(x))2=f(a) sind die Lösungen g(x)=f(a)​,−f(a)​
v=169​​,v=−169​​
v=169​​,v=−169​​
Setze v=u2wiederein,löse für u
Löse u2=169​​:u=23​​,u=−23​​
u2=169​​
Vereinfache 169​​:43​
169​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥0=16​9​​
16​=4
16​
Faktorisiere die Zahl: 16=42=42​
Wende Radikal Regel an: nan​=a42​=4=4
=49​​
9​=3
9​
Faktorisiere die Zahl: 9=32=32​
Wende Radikal Regel an: nan​=a32​=3=3
=43​
u2=43​
Für x2=f(a) sind die Lösungen x=f(a)​,−f(a)​
u=43​​,u=−43​​
43​​=23​​
43​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥0=4​3​​
4​=2
4​
Faktorisiere die Zahl: 4=22=22​
Wende Radikal Regel an: nan​=a22​=2=2
=23​​
−43​​=−23​​
−43​​
Vereinfache 43​​:23​​
43​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥0=4​3​​
4​=2
4​
Faktorisiere die Zahl: 4=22=22​
Wende Radikal Regel an: nan​=a22​=2=2
=23​​
=−23​​
u=23​​,u=−23​​
Löse u2=−169​​:u=i23​​,u=−i23​​
u2=−169​​
Vereinfache 169​​:43​
169​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥0=16​9​​
16​=4
16​
Faktorisiere die Zahl: 16=42=42​
Wende Radikal Regel an: nan​=a42​=4=4
=49​​
9​=3
9​
Faktorisiere die Zahl: 9=32=32​
Wende Radikal Regel an: nan​=a32​=3=3
=43​
u2=−43​
Für x2=f(a) sind die Lösungen x=f(a)​,−f(a)​
u=−43​​,u=−−43​​
Vereinfache −43​​:i23​​
−43​​
Wende Radikal Regel an: −a​=−1​a​−43​​=−1​43​​=−1​43​​
Wende imaginäre Zahlenregel an: −1​=i=i43​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥043​​=4​3​​=i4​3​​
4​=2
4​
Faktorisiere die Zahl: 4=22=22​
Wende Radikal Regel an: nan​=a22​=2=2
=i23​​
Schreibei23​​ in der Standard komplexen Form um: 23​​i
i23​​
Multipliziere Brüche: a⋅cb​=ca⋅b​=23​i​
=23​​i
Vereinfache −−43​​:−i23​​
−−43​​
Vereinfache −43​​:i23​​
−43​​
Wende Radikal Regel an: −a​=−1​a​−43​​=−1​43​​=−1​43​​
Wende imaginäre Zahlenregel an: −1​=i=i43​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥043​​=4​3​​=i4​3​​
4​=2
4​
Faktorisiere die Zahl: 4=22=22​
Wende Radikal Regel an: nan​=a22​=2=2
=i23​​
=−23​​i
=−i23​​
u=i23​​,u=−i23​​
Die Lösungen sind
u=23​​,u=−23​​,u=i23​​,u=−i23​​
Setze in u=cos(2x)eincos(2x)=23​​,cos(2x)=−23​​,cos(2x)=i23​​,cos(2x)=−i23​​
cos(2x)=23​​,cos(2x)=−23​​,cos(2x)=i23​​,cos(2x)=−i23​​
cos(2x)=23​​:x=12π​+πn,x=1211π​+πn
cos(2x)=23​​
Allgemeine Lösung für cos(2x)=23​​
cos(x) Periodizitätstabelle mit 2πn Zyklus:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
2x=6π​+2πn,2x=611π​+2πn
2x=6π​+2πn,2x=611π​+2πn
Löse 2x=6π​+2πn:x=12π​+πn
2x=6π​+2πn
Teile beide Seiten durch 2
2x=6π​+2πn
Teile beide Seiten durch 222x​=26π​​+22πn​
Vereinfache
22x​=26π​​+22πn​
Vereinfache 22x​:x
22x​
Teile die Zahlen: 22​=1=x
Vereinfache 26π​​+22πn​:12π​+πn
26π​​+22πn​
26π​​=12π​
26π​​
Wende Bruchregel an: acb​​=c⋅ab​=6⋅2π​
Multipliziere die Zahlen: 6⋅2=12=12π​
22πn​=πn
22πn​
Teile die Zahlen: 22​=1=πn
=12π​+πn
x=12π​+πn
x=12π​+πn
x=12π​+πn
Löse 2x=611π​+2πn:x=1211π​+πn
2x=611π​+2πn
Teile beide Seiten durch 2
2x=611π​+2πn
Teile beide Seiten durch 222x​=2611π​​+22πn​
Vereinfache
22x​=2611π​​+22πn​
Vereinfache 22x​:x
22x​
Teile die Zahlen: 22​=1=x
Vereinfache 2611π​​+22πn​:1211π​+πn
2611π​​+22πn​
2611π​​=1211π​
2611π​​
Wende Bruchregel an: acb​​=c⋅ab​=6⋅211π​
Multipliziere die Zahlen: 6⋅2=12=1211π​
22πn​=πn
22πn​
Teile die Zahlen: 22​=1=πn
=1211π​+πn
x=1211π​+πn
x=1211π​+πn
x=1211π​+πn
x=12π​+πn,x=1211π​+πn
cos(2x)=−23​​:x=125π​+πn,x=127π​+πn
cos(2x)=−23​​
Allgemeine Lösung für cos(2x)=−23​​
cos(x) Periodizitätstabelle mit 2πn Zyklus:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
2x=65π​+2πn,2x=67π​+2πn
2x=65π​+2πn,2x=67π​+2πn
Löse 2x=65π​+2πn:x=125π​+πn
2x=65π​+2πn
Teile beide Seiten durch 2
2x=65π​+2πn
Teile beide Seiten durch 222x​=265π​​+22πn​
Vereinfache
22x​=265π​​+22πn​
Vereinfache 22x​:x
22x​
Teile die Zahlen: 22​=1=x
Vereinfache 265π​​+22πn​:125π​+πn
265π​​+22πn​
265π​​=125π​
265π​​
Wende Bruchregel an: acb​​=c⋅ab​=6⋅25π​
Multipliziere die Zahlen: 6⋅2=12=125π​
22πn​=πn
22πn​
Teile die Zahlen: 22​=1=πn
=125π​+πn
x=125π​+πn
x=125π​+πn
x=125π​+πn
Löse 2x=67π​+2πn:x=127π​+πn
2x=67π​+2πn
Teile beide Seiten durch 2
2x=67π​+2πn
Teile beide Seiten durch 222x​=267π​​+22πn​
Vereinfache
22x​=267π​​+22πn​
Vereinfache 22x​:x
22x​
Teile die Zahlen: 22​=1=x
Vereinfache 267π​​+22πn​:127π​+πn
267π​​+22πn​
267π​​=127π​
267π​​
Wende Bruchregel an: acb​​=c⋅ab​=6⋅27π​
Multipliziere die Zahlen: 6⋅2=12=127π​
22πn​=πn
22πn​
Teile die Zahlen: 22​=1=πn
=127π​+πn
x=127π​+πn
x=127π​+πn
x=127π​+πn
x=125π​+πn,x=127π​+πn
cos(2x)=i23​​:Keine Lösung
cos(2x)=i23​​
KeineLo¨sung
cos(2x)=−i23​​:Keine Lösung
cos(2x)=−i23​​
KeineLo¨sung
Kombiniere alle Lösungenx=12π​+πn,x=1211π​+πn,x=125π​+πn,x=127π​+πn

Graph

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cos(x+pi/4)+cos(x-pi/4)=1cos(x+4π​)+cos(x−4π​)=1cos(6x)+cos(3x)=0cos(6x)+cos(3x)=0sin^2(x)=0.5sin2(x)=0.5csc(θ/3)=sqrt(6)csc(3θ​)=6​arcsin(x)=0arcsin(x)=0
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