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cos(2x)-sqrt(2)sin(x)=1

Solução

cos (2 x) - 2 sin (x) = 1

Solução

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graus

x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (2 x) - 2 sin (x) = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

cos (2 x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 x) - sin (x) 2

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

Simplificar

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

- 2 sin^{2} (x) - sin (x) 2 = 0

Usando o método de substituição

- 2 sin^{2} (x) - sin (x) 2 = 0

Sea:

sin (x) = u

- 2 u^{2} - u 2 = 0

- 2 u^{2} - u 2 = 0 : u = - \frac{2}{2}, u = 0

- 2 u^{2} - u 2 = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} - 2 u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

(- 2)^{2} = 2

(- 2)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = (2)^{2}

= (2)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

= 2 + 0

Somar:

2 + 0 = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )} : - \frac{2}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2}{- 2 \cdot 2}

Somar elementos similares:

2 + 2 = 22

= \frac{2 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{2}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2}{- 2 \cdot 2}

Somar elementos similares:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{2}{2}, u = 0

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{2}{2}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{2}{2}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{2}{2} : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = - \frac{2}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{2}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares