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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-sqrt(3)sin(x)=1

Lösung

cos (2 x) - 3 sin (x) = 1

Lösung

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - 3 sin (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (2 x) - 3 sin (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 x) - sin (x) 3

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) - 3 sin (x)

Vereinfache

= - 2 sin^{2} (x) - 3 sin (x)

- 2 sin^{2} (x) - sin (x) 3 = 0

Löse mit Substitution

- 2 sin^{2} (x) - sin (x) 3 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2 u^{2} - u 3 = 0

- 2 u^{2} - u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = 0

- 2 u^{2} - u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 3 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 3 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 3

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

(- 3)^{2} = 3

(- 3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = (3)^{2}

= (3)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 3 + 0

Addiere die Zahlen:

3 + 0 = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 3}{- 2 \cdot 2}

Addiere gleiche Elemente:

3 + 3 = 23

= \frac{2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 3}{- 2 \cdot 2}

Addiere gleiche Elemente:

3 - 3 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{2}, u = 0

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{3}{2}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{3}{2}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{3}{2} : x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-2sin(x)-sin(2x)=0

- 2 sin (x) - sin (2 x) = 0

-sin(x)+cos(2x)=0

- sin (x) + cos (2 x) = 0

sin(2x)-cos(3x)=0

sin (2 x) - cos (3 x) = 0

tan(θ)=-4

tan (θ) = - 4

cos(θ)=-1/3

cos (θ) = - \frac{1}{3}