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2sin^2(θ)-3sin(θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

Solução

2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

Solução

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{π}{6}, θ = \frac{5 π}{6}

Graus

θ = 9 0^{\circ}, θ = 3 0^{\circ}, θ = 15 0^{\circ}

Passos da solução

2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

Usando o método de substituição

2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1 = 0

Sea:

sin (θ) = u

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrair:

9 - 8 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 2}

Somar:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrair:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = sin (θ)

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = 1, 0 \leq θ \leq 2 π : θ = \frac{π}{2}

sin (θ) = 1, 0 \leq θ \leq 2 π

Soluções gerais para

sin (θ) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq θ \leq 2 π

θ = \frac{π}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, 0 \leq θ \leq 2 π : θ = \frac{π}{6}, θ = \frac{5 π}{6}

sin (θ) = \frac{1}{2}, 0 \leq θ \leq 2 π

Soluções gerais para

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq θ \leq 2 π

θ = \frac{π}{6}, θ = \frac{5 π}{6}

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{π}{6}, θ = \frac{5 π}{6}

Gráfico

Exemplos populares

2sec(x)+2tan(x)=2

2sin^2(θ)+sqrt(3)sin(θ)=0

cos^2(x)=sin^2(x/2)

sin(x+pi/4)=-(sqrt(2))/2

1=tan(θ)