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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(θ)-cos^2(θ)=cos(θ)+1

Lösung

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = cos (θ) + 1

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = cos (θ) + 1

Subtrahiere

cos (θ) + 1

von beiden Seiten

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos (θ) - cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos (θ) - cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

Vereinfache

= - cos (θ) - 2 cos^{2} (θ)

- cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- u - 2 u^{2} = 0

- u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 0

- u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 0

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 0

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 0

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4sin(θ)+5=3

4 sin (θ) + 5 = 3

(2cos(x)+sqrt(3))(2sin(x)+1)=0

(2 cos (x) + 3) (2 sin (x) + 1) = 0

sin^2(x)=2sin(x)+3,0<= x<= 2pi

sin^{2} (x) = 2 sin (x) + 3, 0 \leq x \leq 2 π

tan(x)=-11

tan (x) = - 11

cos^2(x)-sin(x)=0

cos^{2} (x) - sin (x) = 0