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Populaire Trigonométrie >

csc(x)+cot(x)=3

Solution

csc (x) + cot (x) = 3

Solution

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Degrés

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

csc (x) + cot (x) = 3

Soustraire

3

des deux côtés

csc (x) + cot (x) - 3 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 = 0

Simplifier

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 : \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3

Combiner les fractions

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )} - 3

Convertir un élément en fraction:

3 = \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + cos (x) - 3 sin (x) = 0

Ajouter

3 sin (x)

aux deux côtés

1 + cos (x) = 3 sin (x)

Mettre les deux côtés au carré

(1 + cos (x))^{2} = (3 sin (x))^{2}

Soustraire

(3 sin (x))^{2}

des deux côtés

(1 + cos (x))^{2} - 9 sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(1 + cos (x))^{2} - 9 sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + cos (x))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

(1 + cos (x))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (x)) : 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

(1 + cos (x))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (x))

(1 + cos (x))^{2} : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Simplifier

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x) : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 (1 - cos^{2} (x))

Développer

- 9 (1 - cos^{2} (x)) : - 9 + 9 cos^{2} (x)

- 9 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) cos^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 + 9 cos^{2} (x)

Simplifier

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 + 9 cos^{2} (x) : 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 + 9 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= 2 cos (x) + cos^{2} (x) + 9 cos^{2} (x) + 1 - 9

Additionner les éléments similaires :

cos^{2} (x) + 9 cos^{2} (x) = 10 cos^{2} (x)

= 2 cos (x) + 10 cos^{2} (x) + 1 - 9

Additionner/Soustraire les nombres :

1 - 9 = - 8

= 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

= 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

= 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

- 8 + 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

- 8 + 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{4}{5}, u = - 1

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 2 u - 8 = 0

Résoudre par la formule quadratique

10 u^{2} + 2 u - 8 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 10, b = 2, c = - 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

2^{2} - 4 \cdot 10 (- 8) = 18

2^{2} - 4 \cdot 10 (- 8)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Multiplier les nombres :

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Additionner les nombres :

4 + 320 = 324

= 324

Factoriser le nombre :

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 18}{2 \cdot 10}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10} : \frac{4}{5}

\frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 2 + 18 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 10}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 10 = 20

= \frac{16}{20}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{4}{5}

u = \frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10} : - 1

\frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10}

Soustraire les nombres :

- 2 - 18 = - 20

= \frac{- 20}{2 \cdot 10}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 20}{20}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20}{20}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{4}{5}, u = - 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{4}{5}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{4}{5}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{4}{5} : x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{4}{5}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

csc (x) + cot (x) = 3

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = 3

insérer

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

csc (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + cot (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3

Redéfinir

3 = 3

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = 3

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

csc (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + cot (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3

Redéfinir

- 3 = 3

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

π + 2 πn :

Faux

π + 2 πn

Insérer

n = 1

π + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = 3

insérer

x = π + 2 π 1

csc (π + 2 π 1) + cot (π + 2 π 1) = 3

Ind \overset{e}{ˊ} fini

\Rightarrow Faux

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin^2(x)-sin(x)+1=cos^2(x)

sin(x/2)=(sqrt(3))/2

cos(x)tan(x)-cos(x)=0

4cos(x+70)=3

4cos(2x)=0