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受欢迎的三角函数 >

sec(θ)=tan(θ)+cot(θ)

解答

sec (θ) = tan (θ) + cot (θ)

解答

θ \in R 无解

求解步骤

sec (θ) = tan (θ) + cot (θ)

两边减去

tan (θ) + cot (θ)

sec (θ) - tan (θ) - cot (θ) = 0

用 sin, cos 表示

- cot (θ) + sec (θ) - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + sec (θ) - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + sin ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

合并分式

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{- sin ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

sin (θ), cos (θ)

的最小公倍数:

sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

sin (θ)

或

cos (θ)

中的因子组成的表达式

= sin (θ) cos (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

sin (θ) cos (θ)

对于

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

将分母和分子乘以

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

对于

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

sin (θ)

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + ( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + sin ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{- cos ^{2} ( θ ) + ( 1 - sin ( θ ) ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos^{2} (θ) + (1 - sin (θ)) sin (θ) = 0

使用三角恒等式改写

- cos^{2} (θ) + (1 - sin (θ)) sin (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - (1 - sin^{2} (θ)) + (1 - sin (θ)) sin (θ)

化简

- (1 - sin^{2} (θ)) + (1 - sin (θ)) sin (θ) : sin (θ) - 1

- (1 - sin^{2} (θ)) + (1 - sin (θ)) sin (θ)

= - (1 - sin^{2} (θ)) + sin (θ) (1 - sin (θ))

- (1 - sin^{2} (θ)) : - 1 + sin^{2} (θ)

- (1 - sin^{2} (θ))

打开括号

= - (1) - (- sin^{2} (θ))

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (θ)

= - 1 + sin^{2} (θ) + (1 - sin (θ)) sin (θ)

乘开

sin (θ) (1 - sin (θ)) : sin (θ) - sin^{2} (θ)

sin (θ) (1 - sin (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (θ), b = 1, c = sin (θ)

= sin (θ) \cdot 1 - sin (θ) sin (θ)

= 1 \cdot sin (θ) - sin (θ) sin (θ)

化简

1 \cdot sin (θ) - sin (θ) sin (θ) : sin (θ) - sin^{2} (θ)

1 \cdot sin (θ) - sin (θ) sin (θ)

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

1 \cdot sin (θ)

乘以:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin (θ) - sin^{2} (θ)

= sin (θ) - sin^{2} (θ)

= - 1 + sin^{2} (θ) + sin (θ) - sin^{2} (θ)

化简

- 1 + sin^{2} (θ) + sin (θ) - sin^{2} (θ) : sin (θ) - 1

- 1 + sin^{2} (θ) + sin (θ) - sin^{2} (θ)

对同类项分组

= sin^{2} (θ) + sin (θ) - sin^{2} (θ) - 1

同类项相加:

sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0

= sin (θ) - 1

= sin (θ) - 1

= sin (θ) - 1

- 1 + sin (θ) = 0

将

1

到右边

- 1 + sin (θ) = 0

两边加上

1

- 1 + sin (θ) + 1 = 0 + 1

化简

sin (θ) = 1

sin (θ) = 1

sin (θ) = 1

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

因为方程对以下值无定义:

\frac{π}{2} + 2 πn

θ \in R 无解

作图

流行的例子

sec^2(x)= 4/3 ,0<= x<= 2pi

sec^{2} (x) = \frac{4}{3}, 0 \leq x \leq 2 π

sqrt(3)tan(3θ)-1=0

3 tan (3 θ) - 1 = 0

2 tan (x) = sec (x)

cos (x) = 2 π

sin(6x)+sin(2x)=0

sin (6 x) + sin (2 x) = 0