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Popolare Trigonometria >

2cos^2(x)-cos(x)=2-sec(x)

Soluzione

2 cos^{2} (x) - cos (x) = 2 - sec (x)

Soluzione

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Gradi

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 cos^{2} (x) - cos (x) = 2 - sec (x)

Sottrarre

2 - sec (x)

da entrambi i lati

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 2 + sec (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 2 - cos (x) + sec (x) + 2 cos^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 2 - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) + 2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2}

2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ^{2} ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

= - 2 - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) + \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

- 2 - \frac{1}{sec ( x )} + \frac{2}{sec ^{2} ( x )} + sec (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 - \frac{1}{sec ( x )} + \frac{2}{sec ^{2} ( x )} + sec (x) = 0

Sia:

sec (x) = u

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0 : u = 2, u = - 1, u = 1

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

Moltiplica per mcm

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

Trovare il minimo comune multiplo di

u, u^{2} : u^{2}

u, u^{2}

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

u

u^{2}

= u^{2}

Moltiplicare per il minimo comune multiplo=

u^{2}

- 2 u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

- 2 u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

- \frac{1}{u} u^{2} : - u

- \frac{1}{u} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Moltiplicare:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - \frac{u ^{2}}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - u

Semplificare

\frac{2}{u ^{2}} u^{2} : 2

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 2

Semplificare

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Aggiungi i numeri:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Semplificare

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

Risolvi

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0 : u = 2, u = - 1, u = 1

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2 = 0

Fattorizza

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2 : (u - 2) (u + 1) (u - 1)

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2

= (u^{3} - 2 u^{2}) + (- u + 2)

Fattorizza

- 1

- u + 2 : - (u - 2)

- u + 2

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (u - 2)

Fattorizza

u^{2}

u^{3} - 2 u^{2} : u^{2} (u - 2)

u^{3} - 2 u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - 2 u^{2}

Fattorizzare dal termine comune

u^{2}

= u^{2} (u - 2)

= - (u - 2) + u^{2} (u - 2)

Fattorizzare dal termine comune

u - 2

= (u - 2) (u^{2} - 1)

Fattorizza

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (u - 2) (u + 1) (u - 1)

(u - 2) (u + 1) (u - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u - 2 = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Risolvi

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u - 2 = 0

Aggiungi

2

ad entrambi i lati

u - 2 + 2 = 0 + 2

Semplificare

u = 2

u = 2

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Le soluzioni sono

u = 2, u = - 1, u = 1

u = 2, u = - 1, u = 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u

e confrontare con zero

u = 0

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 2, u = - 1, u = 1

Sostituire indietro

u = sec (x)

sec (x) = 2, sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = 2, sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2

Soluzioni generali per

sec (x) = 2

sec (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Soluzioni generali per

sec (x) = - 1

sec (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = 1 : x = 2 πn

sec (x) = 1

Soluzioni generali per

sec (x) = 1

sec (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin^4(x)-cos^4(x)= 1/2

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) = \frac{1}{2}

solvefor x,y=tan(x)

so l v e f or x, y = tan (x)

sin(θ)=-2

sin (θ) = - 2

(cos(x/2))/2 =0

\frac{cos ( \frac{x}{2} )}{2} = 0

sin(2x)=cos(3x)

sin (2 x) = cos (3 x)