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Beliebt Trigonometrie >

4cos(x)-4sin(x)=2sqrt(6)

Lösung

4 cos (x) - 4 sin (x) = 26

Lösung

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Grad

x = - 7 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (x) - 4 sin (x) = 26

Füge

4 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

4 cos (x) = 26 + 4 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(4 cos (x))^{2} = (26 + 4 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(26 + 4 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

16 cos^{2} (x) - 24 - 166 sin (x) - 16 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 24 + 16 cos^{2} (x) - 16 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 24 + 16 (1 - sin^{2} (x)) - 16 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6

Vereinfache

- 24 + 16 (1 - sin^{2} (x)) - 16 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6 : - 32 sin^{2} (x) - 166 sin (x) - 8

- 24 + 16 (1 - sin^{2} (x)) - 16 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6

= - 24 + 16 (1 - sin^{2} (x)) - 16 sin^{2} (x) - 166 sin (x)

Multipliziere aus

16 (1 - sin^{2} (x)) : 16 - 16 sin^{2} (x)

16 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 sin^{2} (x)

= - 24 + 16 - 16 sin^{2} (x) - 16 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6

Vereinfache

- 24 + 16 - 16 sin^{2} (x) - 16 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6 : - 32 sin^{2} (x) - 166 sin (x) - 8

- 24 + 16 - 16 sin^{2} (x) - 16 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6

Addiere gleiche Elemente:

- 16 sin^{2} (x) - 16 sin^{2} (x) = - 32 sin^{2} (x)

= - 24 + 16 - 32 sin^{2} (x) - 166 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 24 + 16 = - 8

= - 32 sin^{2} (x) - 166 sin (x) - 8

= - 32 sin^{2} (x) - 166 sin (x) - 8

= - 32 sin^{2} (x) - 166 sin (x) - 8

- 8 - 32 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6 = 0

Löse mit Substitution

- 8 - 32 sin^{2} (x) - 16 sin (x) 6 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 8 - 32 u^{2} - 16 u 6 = 0

- 8 - 32 u^{2} - 16 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 8 - 32 u^{2} - 16 u 6 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 32 u^{2} - 166 u - 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 32 u^{2} - 166 u - 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 32, b = - 166, c = - 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 6 ) \pm ( - 16 6 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) ( - 8 )}{2 ( - 32 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 6 ) \pm ( - 16 6 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) ( - 8 )}{2 ( - 32 )}

(- 166)^{2} - 4 (- 32) (- 8) = 162

(- 166)^{2} - 4 (- 32) (- 8)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 166)^{2} - 4 \cdot 32 \cdot 8

(- 166)^{2} = 1 6^{2} \cdot 6

(- 166)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 166)^{2} = (166)^{2}

= (166)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 1 6^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 6

= 1 6^{2} \cdot 6

4 \cdot 32 \cdot 8 = 1024

4 \cdot 32 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 32 \cdot 8 = 1024

= 1024

= 1 6^{2} \cdot 6 - 1024

1 6^{2} \cdot 6 = 1536

1 6^{2} \cdot 6

1 6^{2} = 256

= 256 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

256 \cdot 6 = 1536

= 1536

= 1536 - 1024

Subtrahiere die Zahlen:

1536 - 1024 = 512

= 512

Primfaktorzerlegung von

512 : 2^{9}

512

512

ist durch

2512 = 256 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 256

256

ist durch

2256 = 128 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 128

128

ist durch

2128 = 64 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 64

64

ist durch

264 = 32 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{9}

= 2^{9}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{8} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{8}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 2

Fasse zusammen

= 162

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 6 ) \pm 16 2}{2 ( - 32 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 16 6 ) + 16 2}{2 ( - 32 )}, u_{2} = \frac{- ( - 16 6 ) - 16 2}{2 ( - 32 )}

u = \frac{- ( - 16 6 ) + 16 2}{2 ( - 32 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 16 6 ) + 16 2}{2 ( - 32 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 6 + 16 2}{- 2 \cdot 32}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 6 + 16 2}{- 64}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 6 + 16 2}{64}

Streiche

\frac{16 6 + 16 2}{64} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{16 6 + 16 2}{64}

Klammere gleiche Terme aus

16

= \frac{16 ( 6 + 2 )}{64}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 16 6 ) - 16 2}{2 ( - 32 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 16 6 ) - 16 2}{2 ( - 32 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 6 - 16 2}{- 2 \cdot 32}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 6 - 16 2}{- 64}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 6 - 16 2}{64}

Streiche

\frac{16 6 - 16 2}{64} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{16 6 - 16 2}{64}

Klammere gleiche Terme aus

16

= \frac{16 ( 6 - 2 )}{64}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 cos (x) - 4 sin (x) = 26

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

4 cos (x) - 4 sin (x) = 26

ein, um zu lösen

4 cos (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 4 sin (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 26

Fasse zusammen

4.89897 \dots = 4.89897 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

4 cos (x) - 4 sin (x) = 26

ein, um zu lösen

4 cos (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 4 sin (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 26

Fasse zusammen

2.82842 \dots = 4.89897 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

4 cos (x) - 4 sin (x) = 26

ein, um zu lösen

4 cos (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 4 sin (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 26

Fasse zusammen

4.89897 \dots = 4.89897 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

4 cos (x) - 4 sin (x) = 26

ein, um zu lösen

4 cos (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 4 sin (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 26

Fasse zusammen

- 2.82842 \dots = 4.89897 \dots

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)= 8/9

sin (x) = \frac{8}{9}

tan^2(x)-3tan(x)+1=0

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 1 = 0

sin(θ)+sin(2θ)=0

sin (θ) + sin (2 θ) = 0

tan^2(θ)sin(θ)=-sin(θ)

tan^{2} (θ) sin (θ) = - sin (θ)

sec(x)=1+tan(x)

sec (x) = 1 + tan (x)