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Populaire Trigonométrie >

3sin(x)tan(x)=8

Solution

3 sin (x) tan (x) = 8

Solution

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Degrés

x = 70.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 289.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

3 sin (x) tan (x) = 8

Soustraire

8

des deux côtés

3 sin (x) tan (x) - 8 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 8 = 0

Simplifier

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 8 : \frac{3 sin ^{2} ( x ) - 8 cos ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 8

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3 sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) \cdot 3 sin (x) = 3 sin^{2} (x)

sin (x) \cdot 3 sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 3 sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 3 sin^{2} (x)

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 8

Convertir un élément en fraction:

8 = \frac{8 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - \frac{8 cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 sin ^{2} ( x ) - 8 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{3 sin ^{2} ( x ) - 8 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Ajouter

8 cos (x)

aux deux côtés

3 sin^{2} (x) = 8 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(3 sin^{2} (x))^{2} = (8 cos (x))^{2}

Soustraire

(8 cos (x))^{2}

des deux côtés

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

Factoriser

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x) : (3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x))

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

Récrire

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

comme

(3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2}

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

Récrire

9

comme

3^{2}

= 3^{2} sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

Récrire

64

comme

8^{2}

= 3^{2} sin^{4} (x) - 8^{2} cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= 3^{2} (sin^{2} (x))^{2} - 8^{2} cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} (sin^{2} (x))^{2} = (3 sin^{2} (x))^{2}

= (3 sin^{2} (x))^{2} - 8^{2} cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

8^{2} cos^{2} (x) = (8 cos (x))^{2}

= (3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2}

= (3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2} = (3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x))

= (3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x))

(3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x) = 0 or 3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x) = 0 : x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 3 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 + 8 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 + 8 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = 3

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0

Développer

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u : 3 - 3 u^{2} + 8 u

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u

= 3 (1 - u^{2}) + 8 u

Développer

3 (1 - u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

3 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = u^{2}

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 u^{2}

= 3 - 3 u^{2} + 8 u

3 - 3 u^{2} + 8 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 3 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 3, b = 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

8^{2} - 4 (- 3) \cdot 3 = 10

8^{2} - 4 (- 3) \cdot 3

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 8^{2} + 36

8^{2} = 64

= 64 + 36

Additionner les nombres :

64 + 36 = 100

= 100

Factoriser le nombre :

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 10}{2 ( - 3 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 10}{- 2 \cdot 3}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 8 + 10 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{- 6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{1}{3}

u = \frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )} : 3

\frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 10}{- 2 \cdot 3}

Soustraire les nombres :

- 8 - 10 = - 18

= \frac{- 18}{- 2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 18}{- 6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{18}{6}

Diviser les nombres :

\frac{18}{6} = 3

= 3

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1}{3}, u = 3

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{3}, cos (x) = 3

cos (x) = - \frac{1}{3}, cos (x) = 3

cos (x) = - \frac{1}{3} : x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{1}{3}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = 3 :

Aucune solution

cos (x) = 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0 : x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 3 (1 - cos^{2} (x)) - 8 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 - 8 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 - 8 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u = 0 : u = - 3, u = \frac{1}{3}

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u = 0

Développer

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u : 3 - 3 u^{2} - 8 u

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u

= 3 (1 - u^{2}) - 8 u

Développer

3 (1 - u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

3 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = u^{2}

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 u^{2}

= 3 - 3 u^{2} - 8 u

3 - 3 u^{2} - 8 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 3 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 3, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 3) \cdot 3 = 10

(- 8)^{2} - 4 (- 3) \cdot 3

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 8^{2} + 36

8^{2} = 64

= 64 + 36

Additionner les nombres :

64 + 36 = 100

= 100

Factoriser le nombre :

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 10}{2 ( - 3 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 10}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 10}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 10}{2 ( - 3 )} : - 3

\frac{- ( - 8 ) + 10}{2 ( - 3 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 10}{- 2 \cdot 3}

Additionner les nombres :

8 + 10 = 18

= \frac{18}{- 2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{18}{- 6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{18}{6}

Diviser les nombres :

\frac{18}{6} = 3

= - 3

u = \frac{- ( - 8 ) - 10}{2 ( - 3 )} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 8 ) - 10}{2 ( - 3 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 10}{- 2 \cdot 3}

Soustraire les nombres :

8 - 10 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2}{- 6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{6}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{3}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - 3, u = \frac{1}{3}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = - 3 :

Aucune solution

cos (x) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = \frac{1}{3} : x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{3}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{1}{3}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

3 sin (x) tan (x) = 8

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn :

Faux

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

Pour

3 sin (x) tan (x) = 8

insérer

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Redéfinir

- 8 = 8

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn :

Faux

- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

Pour

3 sin (x) tan (x) = 8

insérer

x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Redéfinir

- 8 = 8

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Pour

3 sin (x) tan (x) = 8

insérer

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Redéfinir

8 = 8

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn :

vrai

2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Pour

3 sin (x) tan (x) = 8

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Redéfinir

8 = 8

\Rightarrow vrai

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

tan^2(x)-4=0

tan^{2} (x) - 4 = 0

2sin^2(θ)+sin(θ)-1=0,0<= θ<2pi

2 sin^{2} (θ) + sin (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π

2cos^2(x)-3cos(x)=2

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 2

cot(θ)= 1/(sqrt(3))

cot (θ) = \frac{1}{3}

-3sin^2(θ)+4sin(θ)-7=-6

- 3 sin^{2} (θ) + 4 sin (θ) - 7 = - 6