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Popular Trigonometria >

3sin(x)tan(x)=8

Solução

3 sin (x) tan (x) = 8

Solução

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Graus

x = 70.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 289.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

3 sin (x) tan (x) = 8

Subtrair

8

de ambos os lados

3 sin (x) tan (x) - 8 = 0

Expresar com seno, cosseno

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 8 = 0

Simplificar

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 8 : \frac{3 sin ^{2} ( x ) - 8 cos ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 8

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3 sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) \cdot 3 sin (x) = 3 sin^{2} (x)

sin (x) \cdot 3 sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 3 sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= 3 sin^{2} (x)

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 8

Converter para fração:

8 = \frac{8 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - \frac{8 cos ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 sin ^{2} ( x ) - 8 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{3 sin ^{2} ( x ) - 8 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Adicionar

8 cos (x)

a ambos os lados

3 sin^{2} (x) = 8 cos (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(3 sin^{2} (x))^{2} = (8 cos (x))^{2}

Subtrair

(8 cos (x))^{2}

de ambos os lados

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

Fatorar

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x) : (3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x))

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

Reescrever

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

como

(3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2}

9 sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

Reescrever

9

como

3^{2}

= 3^{2} sin^{4} (x) - 64 cos^{2} (x)

Reescrever

64

como

8^{2}

= 3^{2} sin^{4} (x) - 8^{2} cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= 3^{2} (sin^{2} (x))^{2} - 8^{2} cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} (sin^{2} (x))^{2} = (3 sin^{2} (x))^{2}

= (3 sin^{2} (x))^{2} - 8^{2} cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

8^{2} cos^{2} (x) = (8 cos (x))^{2}

= (3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2}

= (3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 sin^{2} (x))^{2} - (8 cos (x))^{2} = (3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x))

= (3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x))

(3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)) (3 sin^{2} (x) - 8 cos (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x) = 0 or 3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x) = 0 : x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 3 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 + 8 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 + 8 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = 3

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0

Expandir

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u : 3 - 3 u^{2} + 8 u

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u

= 3 (1 - u^{2}) + 8 u

Expandir

3 (1 - u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

3 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = u^{2}

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 u^{2}

= 3 - 3 u^{2} + 8 u

3 - 3 u^{2} + 8 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 3 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 3, b = 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

8^{2} - 4 (- 3) \cdot 3 = 10

8^{2} - 4 (- 3) \cdot 3

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar os números:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 8^{2} + 36

8^{2} = 64

= 64 + 36

Somar:

64 + 36 = 100

= 100

Fatorar o número:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 10}{2 ( - 3 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 10}{- 2 \cdot 3}

Somar/subtrair:

- 8 + 10 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{- 6}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1}{3}

u = \frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )} : 3

\frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 10}{- 2 \cdot 3}

Subtrair:

- 8 - 10 = - 18

= \frac{- 18}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 18}{- 6}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{18}{6}

Dividir:

\frac{18}{6} = 3

= 3

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1}{3}, u = 3

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{3}, cos (x) = 3

cos (x) = - \frac{1}{3}, cos (x) = 3

cos (x) = - \frac{1}{3} : x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{1}{3}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = 3 :

Sem solução

cos (x) = 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0 : x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

3 sin^{2} (x) - 8 cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 3 (1 - cos^{2} (x)) - 8 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 - 8 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 3 - 8 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u = 0 : u = - 3, u = \frac{1}{3}

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u = 0

Expandir

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u : 3 - 3 u^{2} - 8 u

(1 - u^{2}) \cdot 3 - 8 u

= 3 (1 - u^{2}) - 8 u

Expandir

3 (1 - u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

3 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = u^{2}

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 u^{2}

= 3 - 3 u^{2} - 8 u

3 - 3 u^{2} - 8 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 3 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 3, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 3) \cdot 3 = 10

(- 8)^{2} - 4 (- 3) \cdot 3

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar os números:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 8^{2} + 36

8^{2} = 64

= 64 + 36

Somar:

64 + 36 = 100

= 100

Fatorar o número:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 10}{2 ( - 3 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 10}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 10}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 10}{2 ( - 3 )} : - 3

\frac{- ( - 8 ) + 10}{2 ( - 3 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 10}{- 2 \cdot 3}

Somar:

8 + 10 = 18

= \frac{18}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{18}{- 6}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{18}{6}

Dividir:

\frac{18}{6} = 3

= - 3

u = \frac{- ( - 8 ) - 10}{2 ( - 3 )} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 8 ) - 10}{2 ( - 3 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 10}{- 2 \cdot 3}

Subtrair:

8 - 10 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2}{- 6}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{3}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 3, u = \frac{1}{3}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = - 3 :

Sem solução

cos (x) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = \frac{1}{3} : x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{3}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{1}{3}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

3 sin (x) tan (x) = 8

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

Para

3 sin (x) tan (x) = 8

inserir

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Simplificar

- 8 = 8

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Inserir

n = 1

- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

Para

3 sin (x) tan (x) = 8

inserir

x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (- arccos (- \frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Simplificar

- 8 = 8

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Para

3 sin (x) tan (x) = 8

inserir

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Simplificar

8 = 8

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn :

Verdadeiro

2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Inserir

n = 1

2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Para

3 sin (x) tan (x) = 8

inserir

x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) tan (2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π 1) = 8

Simplificar

8 = 8

\Rightarrow Verdadeiro

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

tan^2(x)-4=0

2sin^2(θ)+sin(θ)-1=0,0<= θ<2pi

2cos^2(x)-3cos(x)=2

cot(θ)= 1/(sqrt(3))

-3sin^2(θ)+4sin(θ)-7=-6