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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)+9sin^2(x)=1

Lösung

cos (x) + 9 sin^{2} (x) = 1

Lösung

x = 2.66571 \dots + 2 πn, x = - 2.66571 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 152.73395 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 152.73395 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) + 9 sin^{2} (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (x) + 9 sin^{2} (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (x) + 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 + cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 1 + cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : cos (x) - 9 cos^{2} (x) + 8

- 1 + cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 1 + cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 1 + cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : cos (x) - 9 cos^{2} (x) + 8

- 1 + cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 1 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 9 = 8

= cos (x) - 9 cos^{2} (x) + 8

= cos (x) - 9 cos^{2} (x) + 8

= cos (x) - 9 cos^{2} (x) + 8

8 + cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

8 + cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

8 + u - 9 u^{2} = 0

8 + u - 9 u^{2} = 0 : u = - \frac{8}{9}, u = 1

8 + u - 9 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 9 u^{2} + u + 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 9 u^{2} + u + 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 9, b = 1, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 9 ) \cdot 8}{2 ( - 9 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 9 ) \cdot 8}{2 ( - 9 )}

1^{2} - 4 (- 9) \cdot 8 = 17

1^{2} - 4 (- 9) \cdot 8

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 9) \cdot 8

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 9 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 \cdot 8 = 288

= 1 + 288

Addiere die Zahlen:

1 + 288 = 289

= 289

Faktorisiere die Zahl:

289 = 1 7^{2}

= 1 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 7^{2} = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 17}{2 ( - 9 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 17}{2 ( - 9 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 17}{2 ( - 9 )}

u = \frac{- 1 + 17}{2 ( - 9 )} : - \frac{8}{9}

\frac{- 1 + 17}{2 ( - 9 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 17}{- 2 \cdot 9}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 17 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{16}{- 18}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{8}{9}

u = \frac{- 1 - 17}{2 ( - 9 )} : 1

\frac{- 1 - 17}{2 ( - 9 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 17}{- 2 \cdot 9}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 17 = - 18

= \frac{- 18}{- 2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{- 18}{- 18}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{18}{18}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{8}{9}, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{8}{9}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{8}{9}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{8}{9} : x = arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{8}{9}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{8}{9}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{8}{9}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{8}{9}) + 2 πn, x = 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.66571 \dots + 2 πn, x = - 2.66571 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-2/3 cos(x)+2/3 cos(2x)=0

- \frac{2}{3} cos (x) + \frac{2}{3} cos (2 x) = 0

sin(θ)-cos(θ)=0

sin (θ) - cos (θ) = 0

cot(3x)=-sqrt(3),0<= x<= 2pi

cot (3 x) = - 3, 0 \leq x \leq 2 π

3cos^2(x)+sin^2(x)=3

3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 3

4sin^2(x)+6sin(x)+2=0

4 sin^{2} (x) + 6 sin (x) + 2 = 0