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Beliebt Trigonometrie >

4cos(2θ)+3cos(θ)+4=-3cos(θ)-1

Lösung

4 cos (2 θ) + 3 cos (θ) + 4 = - 3 cos (θ) - 1

Lösung

θ = 1.82347 \dots + 2 πn, θ = - 1.82347 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 104.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 104.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (2 θ) + 3 cos (θ) + 4 = - 3 cos (θ) - 1

Subtrahiere

- 3 cos (θ) - 1

von beiden Seiten

4 cos (2 θ) + 6 cos (θ) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 + 4 cos (2 θ) + 6 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 5 + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 6 cos (θ)

Vereinfache

5 + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 6 cos (θ) : 8 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

5 + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 6 cos (θ)

Multipliziere aus

4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Vereinfache

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 5 + 8 cos^{2} (θ) - 4 + 6 cos (θ)

Vereinfache

5 + 8 cos^{2} (θ) - 4 + 6 cos (θ) : 8 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

5 + 8 cos^{2} (θ) - 4 + 6 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 8 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 5 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

5 - 4 = 1

= 8 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

= 8 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

= 8 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

1 + 6 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 + 6 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

1 + 6 u + 8 u^{2} = 0

1 + 6 u + 8 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{2}

1 + 6 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 6 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 6 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 8}

6^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 2

6^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 1 = 32

= 6^{2} - 32

6^{2} = 36

= 36 - 32

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 32 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 2}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 6 - 2}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 6 + 2}{2 \cdot 8} : - \frac{1}{4}

\frac{- 6 + 2}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 6 + 2 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{4}

u = \frac{- 6 - 2}{2 \cdot 8} : - \frac{1}{2}

\frac{- 6 - 2}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 6 - 2 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{4}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{4}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{4} : θ = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{4}) + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.82347 \dots + 2 πn, θ = - 1.82347 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ-pi/4)-1=0

cos (θ - \frac{π}{4}) - 1 = 0

solvefor x,-sin(x)=0

so l v e f or x, - sin (x) = 0

2sec^2(x)tan(x)=0

2 sec^{2} (x) tan (x) = 0

2sin^2(x)-5sin(x)=-2

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) = - 2

8sin^2(x)+6sin(x)+1=0

8 sin^{2} (x) + 6 sin (x) + 1 = 0