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arcsin(x)-arccos(x)=arcsin(3x-2)

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Soluzione

arcsin(x)−arccos(x)=arcsin(3x−2)

Soluzione

x=1,x=21​
Fasi della soluzione
arcsin(x)−arccos(x)=arcsin(3x−2)
a=b⇒sin(a)=sin(b)sin(arcsin(x)−arccos(x))=sin(arcsin(3x−2))
Usare l'identità seguente: sin(s−t)=sin(s)cos(t)−cos(s)sin(t)sin(arcsin(x))cos(arccos(x))−cos(arcsin(x))sin(arccos(x))=sin(arcsin(3x−2))
Usare l'identità seguente: sin(arcsin(x))=x
Usare l'identità seguente: cos(arccos(x))=x
Usare l'identità seguente: cos(arcsin(x))=1−x2​
Usare l'identità seguente: sin(arccos(x))=1−x2​
xx−1−x2​1−x2​=3x−2
Risolvi xx−1−x2​1−x2​=3x−2:x=1,x=21​
xx−1−x2​1−x2​=3x−2
Espandere xx−1−x2​1−x2​:2x2−1
xx−1−x2​1−x2​
xx=x2
xx
Applica la regola degli esponenti: ab⋅ac=ab+cxx=x1+1=x1+1
Aggiungi i numeri: 1+1=2=x2
1−x2​1−x2​=1−x2
1−x2​1−x2​
Applicare la regola della radice: a​a​=a1−x2​1−x2​=1−x2=1−x2
=x2−(1−x2)
Espandere x2−(1−x2):2x2−1
x2−(1−x2)
−(1−x2):−1+x2
−(1−x2)
Distribuire le parentesi=−(1)−(−x2)
Applicare le regole di sottrazione-addizione−(−a)=a,−(a)=−a=−1+x2
=x2−1+x2
Semplifica x2−1+x2:2x2−1
x2−1+x2
Raggruppa termini simili=x2+x2−1
Aggiungi elementi simili: x2+x2=2x2=2x2−1
=2x2−1
=2x2−1
2x2−1=3x−2
Risolvi 2x2−1=3x−2:x=1,x=21​
2x2−1=3x−2
Spostare 2a sinistra dell'equazione
2x2−1=3x−2
Aggiungi 2 ad entrambi i lati2x2−1+2=3x−2+2
Semplificare2x2+1=3x
2x2+1=3x
Spostare 3xa sinistra dell'equazione
2x2+1=3x
Sottrarre 3x da entrambi i lati2x2+1−3x=3x−3x
Semplificare2x2+1−3x=0
2x2+1−3x=0
Scrivi in forma standard ax2+bx+c=02x2−3x+1=0
Risolvi con la formula quadratica
2x2−3x+1=0
Formula dell'equazione quadratica:
Per a=2,b=−3,c=1x1,2​=2⋅2−(−3)±(−3)2−4⋅2⋅1​​
x1,2​=2⋅2−(−3)±(−3)2−4⋅2⋅1​​
(−3)2−4⋅2⋅1​=1
(−3)2−4⋅2⋅1​
Applica la regola degli esponenti: (−a)n=an,se n è pari(−3)2=32=32−4⋅2⋅1​
Moltiplica i numeri: 4⋅2⋅1=8=32−8​
32=9=9−8​
Sottrai i numeri: 9−8=1=1​
Applicare la regola 1​=1=1
x1,2​=2⋅2−(−3)±1​
Separare le soluzionix1​=2⋅2−(−3)+1​,x2​=2⋅2−(−3)−1​
x=2⋅2−(−3)+1​:1
2⋅2−(−3)+1​
Applicare la regola −(−a)=a=2⋅23+1​
Aggiungi i numeri: 3+1=4=2⋅24​
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=44​
Applicare la regola aa​=1=1
x=2⋅2−(−3)−1​:21​
2⋅2−(−3)−1​
Applicare la regola −(−a)=a=2⋅23−1​
Sottrai i numeri: 3−1=2=2⋅22​
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=42​
Cancella il fattore comune: 2=21​
Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:x=1,x=21​
x=1,x=21​
Verificare le soluzioni:x=1Vero,x=21​Vero
Verifica le soluzioni sostituendole in xx−1−x2​1−x2​=3x−2
Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.
Inserire in x=1:Vero
1⋅1−1−12​1−12​=3⋅1−2
1⋅1−1−12​1−12​=1
1⋅1−1−12​1−12​
Applicare la regola 1a=112=1=1⋅1−1−1​1−1​
1⋅1=1
1⋅1
Moltiplica i numeri: 1⋅1=1=1
1−1​1−1​=0
1−1​1−1​
1−1​=0
1−1​
Sottrai i numeri: 1−1=0=0​
Applicare la regola 0​=0=0
=0⋅1−1​
1−1​=0
1−1​
Sottrai i numeri: 1−1=0=0​
Applicare la regola 0​=0=0
=0⋅0
Moltiplica i numeri: 0⋅0=0=0
=1−0
Sottrai i numeri: 1−0=1=1
3⋅1−2=1
3⋅1−2
Moltiplica i numeri: 3⋅1=3=3−2
Sottrai i numeri: 3−2=1=1
1=1
Vero
Inserire in x=21​:Vero
(21​)(21​)−1−(21​)2​1−(21​)2​=3(21​)−2
(21​)(21​)−1−(21​)2​1−(21​)2​=−21​
(21​)(21​)−1−(21​)2​1−(21​)2​
Rimuovi le parentesi: (a)=a=21​⋅21​−1−(21​)2​1−(21​)2​
21​⋅21​=41​
21​⋅21​
Moltiplica le frazioni: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅21⋅1​
Moltiplica i numeri: 1⋅1=1=2⋅21​
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=41​
1−(21​)2​1−(21​)2​=43​
1−(21​)2​1−(21​)2​
Applicare la regola della radice: a​a​=a−(21​)2+1​−(21​)2+1​=1−(21​)2=1−(21​)2
(21​)2=41​
(21​)2
Applica la regola degli esponenti: (ba​)c=bcac​=2212​
Applicare la regola 1a=112=1=221​
22=4=41​
=1−41​
Converti l'elemento in frazione: 1=41⋅4​=41⋅4​−41​
Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4−1​
1⋅4−1=3
1⋅4−1
Moltiplica i numeri: 1⋅4=4=4−1
Sottrai i numeri: 4−1=3=3
=43​
=41​−43​
Applicare la regola ca​±cb​=ca±b​=41−3​
Sottrai i numeri: 1−3=−2=4−2​
Applica la regola delle frazioni: b−a​=−ba​=−42​
Cancella il fattore comune: 2=−21​
3(21​)−2=−21​
3(21​)−2
Rimuovi le parentesi: (a)=a=3⋅21​−2
3⋅21​=23​
3⋅21​
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅3​
Moltiplica i numeri: 1⋅3=3=23​
=23​−2
Converti l'elemento in frazione: 2=22⋅2​=−22⋅2​+23​
Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni: ca​±cb​=ca±b​=2−2⋅2+3​
−2⋅2+3=−1
−2⋅2+3
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=−4+3
Aggiungi/Sottrai i numeri: −4+3=−1=−1
=2−1​
Applica la regola delle frazioni: b−a​=−ba​=−21​
−21​=−21​
Vero
Le soluzioni sonox=1,x=21​
x=1,x=21​
Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale
Verifica le soluzioni sostituendole in arcsin(x)−arccos(x)=arcsin(3x−2)
Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.
Verificare la soluzione 1:Vero
1
Inserire in n=11
Per arcsin(x)−arccos(x)=arcsin(3x−2)inserisci lax=1arcsin(1)−arccos(1)=arcsin(3⋅1−2)
Affinare1.57079…=1.57079…
⇒Vero
Verificare la soluzione 21​:Vero
21​
Inserire in n=121​
Per arcsin(x)−arccos(x)=arcsin(3x−2)inserisci lax=21​arcsin(21​)−arccos(21​)=arcsin(3⋅21​−2)
Affinare−0.52359…=−0.52359…
⇒Vero
x=1,x=21​

Grafico

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Esempi popolari

cos(a)=-0.6cos(a)=−0.615arcsin(x)=5pi15arcsin(x)=5π2sin^2(x)-sin(x)=0,0<= x<2pi2sin2(x)−sin(x)=0,0≤x<2πsin(x)= 3/7sin(x)=73​2sin(θ)+6=-sqrt(3)+62sin(θ)+6=−3​+6
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