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Beliebt Trigonometrie >

9sin(x)=cos(x)-7

Lösung

9 sin (x) = cos (x) - 7

Lösung

x = - 2.14734 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.77293 \dots + 2 πn

Grad

x = - 123.03388 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 315.71426 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

9 sin (x) = cos (x) - 7

Quadriere beide Seiten

(9 sin (x))^{2} = (cos (x) - 7)^{2}

Subtrahiere

(cos (x) - 7)^{2}

von beiden Seiten

81 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 14 cos (x) - 49 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 (1 - cos^{2} (x)) : 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

81 (1 - cos^{2} (x)) : 81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

81 \cdot 1 = 81

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 - 81 cos^{2} (x) : 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) + 14 cos (x) - 81 cos^{2} (x) - 49 + 81

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 82 cos^{2} (x)

= - 82 cos^{2} (x) + 14 cos (x) - 49 + 81

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 49 + 81 = 32

= 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

= 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

= 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

32 + 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

32 + 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

32 + 14 u - 82 u^{2} = 0

32 + 14 u - 82 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, u = \frac{7 + 9 33}{82}

32 + 14 u - 82 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 82 u^{2} + 14 u + 32 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 82 u^{2} + 14 u + 32 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 82, b = 14, c = 32

u_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1 4 ^{2} - 4 ( - 82 ) \cdot 32}{2 ( - 82 )}

u_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1 4 ^{2} - 4 ( - 82 ) \cdot 32}{2 ( - 82 )}

1 4^{2} - 4 (- 82) \cdot 32 = 1833

1 4^{2} - 4 (- 82) \cdot 32

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 4^{2} + 4 \cdot 82 \cdot 32

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 82 \cdot 32 = 10496

= 1 4^{2} + 10496

1 4^{2} = 196

= 196 + 10496

Addiere die Zahlen:

196 + 10496 = 10692

= 10692

Primfaktorzerlegung von

10692 : 2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 11

10692

10692

ist durch

210692 = 5346 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 5346

5346

ist durch

25346 = 2673 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2673

2673

ist durch

32673 = 891 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 891

891

ist durch

3891 = 297 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 297

297

ist durch

3297 = 99 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 99

99

ist durch

399 = 33 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 33

33

ist durch

333 = 11 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

2, 3, 11

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 11

= 3^{5} \cdot 2^{2} \cdot 11

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{4} 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{4} 3 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 2 3 \cdot 11

Fasse zusammen

= 1833

u_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 18 33}{2 ( - 82 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 14 + 18 33}{2 ( - 82 )}, u_{2} = \frac{- 14 - 18 33}{2 ( - 82 )}

u = \frac{- 14 + 18 33}{2 ( - 82 )} : - \frac{- 7 + 9 33}{82}

\frac{- 14 + 18 33}{2 ( - 82 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 14 + 18 33}{- 2 \cdot 82}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 82 = 164

= \frac{- 14 + 18 33}{- 164}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 14 + 18 33}{164}

Streiche

\frac{- 14 + 18 33}{164} : \frac{9 33 - 7}{82}

\frac{- 14 + 18 33}{164}

Faktorisiere

- 14 + 1833 : 2 (- 7 + 933)

- 14 + 1833

Schreibe um

= - 2 \cdot 7 + 2 \cdot 933

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 7 + 933)

= \frac{2 ( - 7 + 9 33 )}{164}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 7 + 9 33}{82}

= - \frac{9 33 - 7}{82}

= - \frac{- 7 + 9 33}{82}

u = \frac{- 14 - 18 33}{2 ( - 82 )} : \frac{7 + 9 33}{82}

\frac{- 14 - 18 33}{2 ( - 82 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 14 - 18 33}{- 2 \cdot 82}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 82 = 164

= \frac{- 14 - 18 33}{- 164}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 14 - 1833 = - (14 + 1833)

= \frac{14 + 18 33}{164}

Faktorisiere

14 + 1833 : 2 (7 + 933)

14 + 1833

Schreibe um

= 2 \cdot 7 + 2 \cdot 933

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (7 + 933)

= \frac{2 ( 7 + 9 33 )}{164}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 + 9 33}{82}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, u = \frac{7 + 9 33}{82}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82} : x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82} : x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

9 sin (x) = cos (x) - 7

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (x) = cos (x) - 7

ein, um zu lösen

9 sin (arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Fasse zusammen

7.54513 \dots = - 7.54513 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (x) = cos (x) - 7

ein, um zu lösen

9 sin (- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Fasse zusammen

- 7.54513 \dots = - 7.54513 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (x) = cos (x) - 7

ein, um zu lösen

9 sin (arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Fasse zusammen

6.28413 \dots = - 6.28413 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (x) = cos (x) - 7

ein, um zu lösen

9 sin (2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Fasse zusammen

- 6.28413 \dots = - 6.28413 \dots

\Rightarrow Wahr

x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.14734 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.77293 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)= 1/(-sqrt(3))

tan (θ) = \frac{1}{- 3}

sin^2(θ)-cos^2(θ)=sin(θ)

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = sin (θ)

4sin(c)+3=sin(c)+1

4 sin (c) + 3 = sin (c) + 1

(tan(x)+1)(sqrt(3)tan(x)-1)=0

(tan (x) + 1) (3 tan (x) - 1) = 0

tan^2(x)sin(x)-sin(x)=0

tan^{2} (x) sin (x) - sin (x) = 0