解答
6tan2(x)−2cos2(x)=cos(2x)
解答
x=6π+2πn,x=611π+2πn,x=65π+2πn,x=67π+2πn
+1
度数
x=30∘+360∘n,x=330∘+360∘n,x=150∘+360∘n,x=210∘+360∘n求解步骤
6tan2(x)−2cos2(x)=cos(2x)
两边减去 cos(2x)6tan2(x)−2cos2(x)−cos(2x)=0
用 sin, cos 表示
−cos(2x)−2cos2(x)+6tan2(x)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)=−cos(2x)−2cos2(x)+6(cos(x)sin(x))2
化简 −cos(2x)−2cos2(x)+6(cos(x)sin(x))2:cos2(x)−cos2(x)cos(2x)−2cos4(x)+6sin2(x)
−cos(2x)−2cos2(x)+6(cos(x)sin(x))2
6(cos(x)sin(x))2=cos2(x)6sin2(x)
6(cos(x)sin(x))2
(cos(x)sin(x))2=cos2(x)sin2(x)
(cos(x)sin(x))2
使用指数法则: (ba)c=bcac=cos2(x)sin2(x)
=6⋅cos2(x)sin2(x)
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=cos2(x)sin2(x)⋅6
=−cos(2x)−2cos2(x)+cos2(x)6sin2(x)
将项转换为分式: cos(2x)=cos2(x)cos(2x)cos2(x),2cos2(x)=cos2(x)2cos2(x)cos2(x)=−cos2(x)cos(2x)cos2(x)−cos2(x)2cos2(x)cos2(x)+cos2(x)sin2(x)⋅6
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=cos2(x)−cos(2x)cos2(x)−2cos2(x)cos2(x)+sin2(x)⋅6
−cos(2x)cos2(x)−2cos2(x)cos2(x)+sin2(x)⋅6=−cos2(x)cos(2x)−2cos4(x)+6sin2(x)
−cos(2x)cos2(x)−2cos2(x)cos2(x)+sin2(x)⋅6
2cos2(x)cos2(x)=2cos4(x)
2cos2(x)cos2(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos2(x)=cos2+2(x)=2cos2+2(x)
数字相加:2+2=4=2cos4(x)
=−cos2(x)cos(2x)−2cos4(x)+6sin2(x)
=cos2(x)−cos2(x)cos(2x)−2cos4(x)+6sin2(x)
=cos2(x)−cos2(x)cos(2x)−2cos4(x)+6sin2(x)
cos2(x)−2cos4(x)+6sin2(x)−cos(2x)cos2(x)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0−2cos4(x)+6sin2(x)−cos(2x)cos2(x)=0
使用三角恒等式改写
−2cos4(x)+6sin2(x)−cos(2x)cos2(x)
使用倍角公式: cos(2x)=cos2(x)−sin2(x)=−2cos4(x)+6sin2(x)−cos2(x)(cos2(x)−sin2(x))
化简 −2cos4(x)+6sin2(x)−cos2(x)(cos2(x)−sin2(x)):−3cos4(x)+6sin2(x)+cos2(x)sin2(x)
−2cos4(x)+6sin2(x)−cos2(x)(cos2(x)−sin2(x))
乘开 −cos2(x)(cos2(x)−sin2(x)):−cos4(x)+cos2(x)sin2(x)
−cos2(x)(cos2(x)−sin2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−cos2(x),b=cos2(x),c=sin2(x)=−cos2(x)cos2(x)−(−cos2(x))sin2(x)
使用加减运算法则−(−a)=a=−cos2(x)cos2(x)+cos2(x)sin2(x)
cos2(x)cos2(x)=cos4(x)
cos2(x)cos2(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos2(x)=cos2+2(x)=cos2+2(x)
数字相加:2+2=4=cos4(x)
=−cos4(x)+cos2(x)sin2(x)
=−2cos4(x)+6sin2(x)−cos4(x)+cos2(x)sin2(x)
同类项相加:−2cos4(x)−cos4(x)=−3cos4(x)=−3cos4(x)+6sin2(x)+cos2(x)sin2(x)
=−3cos4(x)+6sin2(x)+cos2(x)sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−3cos4(x)+6(1−cos2(x))+cos2(x)(1−cos2(x))
化简 −3cos4(x)+6(1−cos2(x))+cos2(x)(1−cos2(x)):−4cos4(x)−5cos2(x)+6
−3cos4(x)+6(1−cos2(x))+cos2(x)(1−cos2(x))
乘开 6(1−cos2(x)):6−6cos2(x)
6(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=6,b=1,c=cos2(x)=6⋅1−6cos2(x)
数字相乘:6⋅1=6=6−6cos2(x)
=−3cos4(x)+6−6cos2(x)+cos2(x)(1−cos2(x))
乘开 cos2(x)(1−cos2(x)):cos2(x)−cos4(x)
cos2(x)(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=cos2(x),b=1,c=cos2(x)=cos2(x)⋅1−cos2(x)cos2(x)
=1⋅cos2(x)−cos2(x)cos2(x)
化简 1⋅cos2(x)−cos2(x)cos2(x):cos2(x)−cos4(x)
1⋅cos2(x)−cos2(x)cos2(x)
1⋅cos2(x)=cos2(x)
1⋅cos2(x)
乘以:1⋅cos2(x)=cos2(x)=cos2(x)
cos2(x)cos2(x)=cos4(x)
cos2(x)cos2(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos2(x)=cos2+2(x)=cos2+2(x)
数字相加:2+2=4=cos4(x)
=cos2(x)−cos4(x)
=cos2(x)−cos4(x)
=−3cos4(x)+6−6cos2(x)+cos2(x)−cos4(x)
化简 −3cos4(x)+6−6cos2(x)+cos2(x)−cos4(x):−4cos4(x)−5cos2(x)+6
−3cos4(x)+6−6cos2(x)+cos2(x)−cos4(x)
对同类项分组=−3cos4(x)−6cos2(x)+cos2(x)−cos4(x)+6
同类项相加:−6cos2(x)+cos2(x)=−5cos2(x)=−3cos4(x)−5cos2(x)−cos4(x)+6
同类项相加:−3cos4(x)−cos4(x)=−4cos4(x)=−4cos4(x)−5cos2(x)+6
=−4cos4(x)−5cos2(x)+6
=−4cos4(x)−5cos2(x)+6
6−4cos4(x)−5cos2(x)=0
用替代法求解
6−4cos4(x)−5cos2(x)=0
令:cos(x)=u6−4u4−5u2=0
6−4u4−5u2=0:u=2i,u=−2i,u=23,u=−23
6−4u4−5u2=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=0−4u4−5u2+6=0
用v=u2 和 v2=u4改写方程式−4v2−5v+6=0
解 −4v2−5v+6=0:v=−2,v=43
−4v2−5v+6=0
使用求根公式求解
−4v2−5v+6=0
二次方程求根公式:
若 a=−4,b=−5,c=6v1,2=2(−4)−(−5)±(−5)2−4(−4)⋅6
v1,2=2(−4)−(−5)±(−5)2−4(−4)⋅6
(−5)2−4(−4)⋅6=11
(−5)2−4(−4)⋅6
使用法则 −(−a)=a=(−5)2+4⋅4⋅6
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−5)2=52=52+4⋅4⋅6
数字相乘:4⋅4⋅6=96=52+96
52=25=25+96
数字相加:25+96=121=121
因式分解数字: 121=112=112
使用根式运算法则: nan=a112=11=11
v1,2=2(−4)−(−5)±11
将解分隔开v1=2(−4)−(−5)+11,v2=2(−4)−(−5)−11
v=2(−4)−(−5)+11:−2
2(−4)−(−5)+11
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅45+11
数字相加:5+11=16=−2⋅416
数字相乘:2⋅4=8=−816
使用分式法则: −ba=−ba=−816
数字相除:816=2=−2
v=2(−4)−(−5)−11:43
2(−4)−(−5)−11
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅45−11
数字相减:5−11=−6=−2⋅4−6
数字相乘:2⋅4=8=−8−6
使用分式法则: −b−a=ba=86
约分:2=43
二次方程组的解是:v=−2,v=43
v=−2,v=43
代回 v=u2，求解 u
解 u2=−2:u=2i,u=−2i
u2=−2
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=−2,u=−−2
化简 −2:2i
−2
使用根式运算法则: −a=−1a−2=−12=−12
使用虚数运算法则: −1=i=2i
化简 −−2:−2i
−−2
化简 −2:2i
−2
使用根式运算法则: −a=−1a−2=−12=−12
使用虚数运算法则: −1=i=2i
=−2i
u=2i,u=−2i
解 u2=43:u=23,u=−23
u2=43
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=43,u=−43
43=23
43
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=43
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=23
−43=−23
−43
化简 43:23
43
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=43
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=23
=−23
u=23,u=−23
解为
u=2i,u=−2i,u=23,u=−23
u=cos(x)代回cos(x)=2i,cos(x)=−2i,cos(x)=23,cos(x)=−23
cos(x)=2i,cos(x)=−2i,cos(x)=23,cos(x)=−23
cos(x)=2i:无解
cos(x)=2i
无解
cos(x)=−2i:无解
cos(x)=−2i
无解
cos(x)=23:x=6π+2πn,x=611π+2πn
cos(x)=23
cos(x)=23的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
x=6π+2πn,x=611π+2πn
x=6π+2πn,x=611π+2πn
cos(x)=−23:x=65π+2πn,x=67π+2πn
cos(x)=−23
cos(x)=−23的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
x=65π+2πn,x=67π+2πn
x=65π+2πn,x=67π+2πn
合并所有解x=6π+2πn,x=611π+2πn,x=65π+2πn,x=67π+2πn