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Popular Trigonometria >

6cos(x)+6sin(x)=3sqrt(6)

Solução

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

Solução

x = 0.26179 \dots + 2 πn, x = 1.30899 \dots + 2 πn

Graus

x = 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 7 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

Subtrair

6 sin (x)

de ambos os lados

6 cos (x) = 36 - 6 sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(6 cos (x))^{2} = (36 - 6 sin (x))^{2}

Subtrair

(36 - 6 sin (x))^{2}

de ambos os lados

36 cos^{2} (x) - 54 + 366 sin (x) - 36 sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 54 + 36 cos^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6

Simplificar

- 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6 : 366 sin (x) - 72 sin^{2} (x) - 18

- 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6

= - 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) + 366 sin (x)

Expandir

36 (1 - sin^{2} (x)) : 36 - 36 sin^{2} (x)

36 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 sin^{2} (x)

= - 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6

Simplificar

- 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6 : 366 sin (x) - 72 sin^{2} (x) - 18

- 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6

Somar elementos similares:

- 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) = - 72 sin^{2} (x)

= - 54 + 36 - 72 sin^{2} (x) + 366 sin (x)

Somar/subtrair:

- 54 + 36 = - 18

= 366 sin (x) - 72 sin^{2} (x) - 18

= 366 sin (x) - 72 sin^{2} (x) - 18

= 366 sin (x) - 72 sin^{2} (x) - 18

- 18 - 72 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6 = 0

Usando o método de substituição

- 18 - 72 sin^{2} (x) + 36 sin (x) 6 = 0

Sea:

sin (x) = u

- 18 - 72 u^{2} + 36 u 6 = 0

- 18 - 72 u^{2} + 36 u 6 = 0 : u = \frac{6 - 2}{4}, u = \frac{6 + 2}{4}

- 18 - 72 u^{2} + 36 u 6 = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 72 u^{2} + 366 u - 18 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 72 u^{2} + 366 u - 18 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 72, b = 366, c = - 18

u_{1, 2} = \frac{- 36 6 \pm ( 36 6 ) ^{2} - 4 ( - 72 ) ( - 18 )}{2 ( - 72 )}

u_{1, 2} = \frac{- 36 6 \pm ( 36 6 ) ^{2} - 4 ( - 72 ) ( - 18 )}{2 ( - 72 )}

(366)^{2} - 4 (- 72) (- 18) = 362

(366)^{2} - 4 (- 72) (- 18)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (366)^{2} - 4 \cdot 72 \cdot 18

(366)^{2} = 3 6^{2} \cdot 6

(366)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3 6^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 6

= 3 6^{2} \cdot 6

4 \cdot 72 \cdot 18 = 5184

4 \cdot 72 \cdot 18

Multiplicar os números:

4 \cdot 72 \cdot 18 = 5184

= 5184

= 3 6^{2} \cdot 6 - 5184

3 6^{2} \cdot 6 = 7776

3 6^{2} \cdot 6

3 6^{2} = 1296

= 1296 \cdot 6

Multiplicar os números:

1296 \cdot 6 = 7776

= 7776

= 7776 - 5184

Subtrair:

7776 - 5184 = 2592

= 2592

Decomposição em fatores primos de

2592 : 2^{5} \cdot 3^{4}

2592

2592

dividida por

22592 = 1296 \cdot 2

= 2 \cdot 1296

1296

dividida por

21296 = 648 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 648

648

dividida por

2648 = 324 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 324

324

dividida por

2324 = 162 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 162

162

dividida por

2162 = 81 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81

81

dividida por

381 = 27 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 27

27

dividida por

327 = 9 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

9

dividida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3^{4}

= 2^{5} \cdot 3^{4}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 2 2^{4} 3^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 3^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 2^{2} \cdot 3^{2} 2

Simplificar

= 362

u_{1, 2} = \frac{- 36 6 \pm 36 2}{2 ( - 72 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 36 6 + 36 2}{2 ( - 72 )}, u_{2} = \frac{- 36 6 - 36 2}{2 ( - 72 )}

u = \frac{- 36 6 + 36 2}{2 ( - 72 )} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{- 36 6 + 36 2}{2 ( - 72 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 36 6 + 36 2}{- 2 \cdot 72}

Multiplicar os números:

2 \cdot 72 = 144

= \frac{- 36 6 + 36 2}{- 144}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 366 + 362 = - (366 - 362)

= \frac{36 6 - 36 2}{144}

Fatorar o termo comum

36

= \frac{36 ( 6 - 2 )}{144}

Eliminar o fator comum:

36

= \frac{6 - 2}{4}

u = \frac{- 36 6 - 36 2}{2 ( - 72 )} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{- 36 6 - 36 2}{2 ( - 72 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 36 6 - 36 2}{- 2 \cdot 72}

Multiplicar os números:

2 \cdot 72 = 144

= \frac{- 36 6 - 36 2}{- 144}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 366 - 362 = - (366 + 362)

= \frac{36 6 + 36 2}{144}

Fatorar o termo comum

36

= \frac{36 ( 6 + 2 )}{144}

Eliminar o fator comum:

36

= \frac{6 + 2}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{6 - 2}{4}, u = \frac{6 + 2}{4}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}, sin (x) = \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}, sin (x) = \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 + 2}{4} : x = arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 + 2}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{6 + 2}{4}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Verdadeiro

arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Para

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

inserir

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) + 6 sin (arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Simplificar

7.34846 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Para

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

inserir

x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) + 6 sin (π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Simplificar

- 4.24264 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Verdadeiro

arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Para

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

inserir

x = arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) + 6 sin (arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Simplificar

7.34846 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Para

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

inserir

x = π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) + 6 sin (π - arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Simplificar

4.24264 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Falso

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.26179 \dots + 2 πn, x = 1.30899 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

3sin(x)+1=0

(tan(x)+1)(cos(x)-1)=0

cot(θ)=-1/(sqrt(3))

3sqrt(2)cos(θ)+3=6

-8cos(θ)-4=-4