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Popolare Trigonometria >

4cos^2(x)+4cos(x)=1,0<= x<360

Soluzione

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1, 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}

Soluzione

x = 1.36217 \dots, x = 36 0^{\circ} - 1.36217 \dots

Radianti

x = 1.36217 \dots, x = 2 π - 1.36217 \dots

Fasi della soluzione

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1, 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}

Risolvi per sostituzione

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Sia:

cos (x) = u

4 u^{2} + 4 u = 1

4 u^{2} + 4 u = 1 : u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

4 u^{2} + 4 u = 1

Spostare

1

a sinistra dell'equazione

4 u^{2} + 4 u = 1

Sottrarre

1

da entrambi i lati

4 u^{2} + 4 u - 1 = 1 - 1

Semplificare

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 42

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} + 16

4^{2} = 16

= 16 + 16

Aggiungi i numeri:

16 + 16 = 32

= 32

Fattorizzazione prima di

32 : 2^{5}

32

32

diviso per

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

diviso per

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

diviso per

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Applicare la regola della radice:

= 2 2^{4}

Applicare la regola della radice:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Affinare

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 2}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 2}{2}

\frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 + 4 2}{8}

Fattorizza

- 4 + 42 : 4 (- 1 + 2)

- 4 + 42

Riscrivi come

= - 4 \cdot 1 + 42

Fattorizzare dal termine comune

4

= 4 (- 1 + 2)

= \frac{4 ( - 1 + 2 )}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{- 1 + 2}{2}

u = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 2}{2}

\frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 - 4 2}{8}

Fattorizza

- 4 - 42 : - 4 (1 + 2)

- 4 - 42

Riscrivi come

= - 4 \cdot 1 - 42

Fattorizzare dal termine comune

4

= - 4 (1 + 2)

= - \frac{4 ( 1 + 2 )}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= - \frac{1 + 2}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ} : x = arccos (\frac{2 - 1}{2}), x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 - 1}{2})

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

Soluzioni generali per

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (a) + 36 0^{\circ} n

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 36 0^{\circ}

x = arccos (\frac{2 - 1}{2}), x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 - 1}{2})

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ} :

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = arccos (\frac{2 - 1}{2}), x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 - 1}{2})

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 1.36217 \dots, x = 36 0^{\circ} - 1.36217 \dots

Grafico

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