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cos^2(x)+cos^4(x)=1

Solução

cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 1

Solução

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.66623 \dots + 2 πn, x = 2.47535 \dots + 2 πn, x = - 2.47535 \dots + 2 πn

Graus

x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 321.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 1

Usando o método de substituição

cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 1

Sea:

cos (x) = u

u^{2} + u^{4} = 1

u^{2} + u^{4} = 1 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} + u^{4} = 1

Mova

1

para o lado esquerdo

u^{2} + u^{4} = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

u^{2} + u^{4} - 1 = 1 - 1

Simplificar

u^{2} + u^{4} - 1 = 0

u^{2} + u^{4} - 1 = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + u^{2} - 1 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} + v - 1 = 0

Resolver

v^{2} + v - 1 = 0 : v = \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{- 1 - 5}{2}

v^{2} + v - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

v^{2} + v - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 1, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

v = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

v = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{- 1 - 5}{2}

v = \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{- 1 - 5}{2}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = \frac{- 1 + 5}{2} : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{- 1 + 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{- 1 - 5}{2} : u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} = \frac{- 1 - 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

As soluções são

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}, u = - \frac{- 1 - 5}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}, cos (x) = - \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}, cos (x) = - \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2} : x = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 - 5}{2} : x = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 - 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 1 - 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

Dado que a equação é indefinida para:

arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos - \frac{- 1 - 5}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{- 1 + 5}{2} + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.66623 \dots + 2 πn, x = 2.47535 \dots + 2 πn, x = - 2.47535 \dots + 2 πn

Gráfico

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