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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)+3cos(x)=3

Lösung

2 sin (x) + 3 cos (x) = 3

Lösung

x = 1.17600 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 67.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) + 3 cos (x) = 3

Subtrahiere

3 cos (x)

von beiden Seiten

2 sin (x) = 3 - 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (3 - 3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(3 - 3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 9 + 18 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 + 18 cos (x) + 4 sin^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 + 18 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 9 + 18 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) : 18 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 5

- 9 + 18 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 9 + 18 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 9 + 18 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) : 18 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 5

- 9 + 18 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 13 cos^{2} (x)

= - 9 + 18 cos (x) + 4 - 13 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 18 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 9 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 9 + 4 = - 5

= 18 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 5

= 18 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 5

= 18 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 5

- 5 - 13 cos^{2} (x) + 18 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 5 - 13 cos^{2} (x) + 18 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 5 - 13 u^{2} + 18 u = 0

- 5 - 13 u^{2} + 18 u = 0 : u = \frac{5}{13}, u = 1

- 5 - 13 u^{2} + 18 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} + 18 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 13 u^{2} + 18 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 13, b = 18, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 18 \pm 1 8 ^{2} - 4 ( - 13 ) ( - 5 )}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- 18 \pm 1 8 ^{2} - 4 ( - 13 ) ( - 5 )}{2 ( - 13 )}

1 8^{2} - 4 (- 13) (- 5) = 8

1 8^{2} - 4 (- 13) (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 8^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 \cdot 5 = 260

= 1 8^{2} - 260

1 8^{2} = 324

= 324 - 260

Subtrahiere die Zahlen:

324 - 260 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- 18 \pm 8}{2 ( - 13 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 18 + 8}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- 18 - 8}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- 18 + 8}{2 ( - 13 )} : \frac{5}{13}

\frac{- 18 + 8}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 18 + 8}{- 2 \cdot 13}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 18 + 8 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 10}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{26}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5}{13}

u = \frac{- 18 - 8}{2 ( - 13 )} : 1

\frac{- 18 - 8}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 18 - 8}{- 2 \cdot 13}

Subtrahiere die Zahlen:

- 18 - 8 = - 26

= \frac{- 26}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 26}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{26}{26}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5}{13}, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{5}{13}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{5}{13}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{5}{13} : x = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{5}{13}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{5}{13}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, x = 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) + 3 cos (x) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

2 sin (x) + 3 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1) + 3 cos (arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

2 sin (x) + 3 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

2 sin (2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1) + 3 cos (2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 0.69230 \dots = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

2 sin (x) + 3 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

2 sin (2 π 1) + 3 cos (2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

x = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, x = 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.17600 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ)= pi/3

cos (θ) = \frac{π}{3}

2cos^2(x)= 1/2

2 cos^{2} (x) = \frac{1}{2}

2sin(2x+(3pi)/2)=sqrt(3)

2 sin (2 x + \frac{3 π}{2}) = 3

2cos(θ)-2=6cos(θ)

2 cos (θ) - 2 = 6 cos (θ)

10sin^2(x)+15sin(x)+5=0

10 sin^{2} (x) + 15 sin (x) + 5 = 0