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Popolare Trigonometria >

2sin(x)-3cos(x)=3

Soluzione

2 sin (x) - 3 cos (x) = 3

Soluzione

x = π + 2 πn, x = 1.96558 \dots + 2 πn

Gradi

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 112.61986 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sin (x) - 3 cos (x) = 3

Aggiungi

3 cos (x)

ad entrambi i lati

2 sin (x) = 3 + 3 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(2 sin (x))^{2} = (3 + 3 cos (x))^{2}

Sottrarre

(3 + 3 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

4 sin^{2} (x) - 9 - 18 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 9 - 18 cos (x) + 4 sin^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 18 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

Semplificare

- 9 - 18 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) : - 13 cos^{2} (x) - 18 cos (x) - 5

- 9 - 18 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

Espandi

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 9 - 18 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Semplifica

- 9 - 18 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) : - 13 cos^{2} (x) - 18 cos (x) - 5

- 9 - 18 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Aggiungi elementi simili:

- 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 13 cos^{2} (x)

= - 9 - 18 cos (x) + 4 - 13 cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 18 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 9 + 4

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 9 + 4 = - 5

= - 13 cos^{2} (x) - 18 cos (x) - 5

= - 13 cos^{2} (x) - 18 cos (x) - 5

= - 13 cos^{2} (x) - 18 cos (x) - 5

- 5 - 13 cos^{2} (x) - 18 cos (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 5 - 13 cos^{2} (x) - 18 cos (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 5 - 13 u^{2} - 18 u = 0

- 5 - 13 u^{2} - 18 u = 0 : u = - 1, u = - \frac{5}{13}

- 5 - 13 u^{2} - 18 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} - 18 u - 5 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 13 u^{2} - 18 u - 5 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 13, b = - 18, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 18 ) \pm ( - 18 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) ( - 5 )}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 18 ) \pm ( - 18 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) ( - 5 )}{2 ( - 13 )}

(- 18)^{2} - 4 (- 13) (- 5) = 8

(- 18)^{2} - 4 (- 13) (- 5)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 18)^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 5

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 18)^{2} = 1 8^{2}

= 1 8^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 13 \cdot 5 = 260

= 1 8^{2} - 260

1 8^{2} = 324

= 324 - 260

Sottrai i numeri:

324 - 260 = 64

= 64

Fattorizzare il numero:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Applicare la regola della radice:

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 18 ) \pm 8}{2 ( - 13 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 18 ) + 8}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- ( - 18 ) - 8}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- ( - 18 ) + 8}{2 ( - 13 )} : - 1

\frac{- ( - 18 ) + 8}{2 ( - 13 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{18 + 8}{- 2 \cdot 13}

Aggiungi i numeri:

18 + 8 = 26

= \frac{26}{- 2 \cdot 13}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{26}{- 26}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{26}{26}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 18 ) - 8}{2 ( - 13 )} : - \frac{5}{13}

\frac{- ( - 18 ) - 8}{2 ( - 13 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{18 - 8}{- 2 \cdot 13}

Sottrai i numeri:

18 - 8 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 13}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{10}{- 26}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{26}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{5}{13}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 1, u = - \frac{5}{13}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{5}{13}

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{5}{13}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluzioni generali per

cos (x) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = - \frac{5}{13} : x = arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{5}{13}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{5}{13}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{5}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = π + 2 πn, x = arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

2 sin (x) - 3 cos (x) = 3

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

π + 2 πn :

Vero

π + 2 πn

Inserire in

n = 1

π + 2 π 1

Per

2 sin (x) - 3 cos (x) = 3

inserisci la

x = π + 2 π 1

2 sin (π + 2 π 1) - 3 cos (π + 2 π 1) = 3

Affinare

3 = 3

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn :

Vero

arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1

Per

2 sin (x) - 3 cos (x) = 3

inserisci la

x = arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1

2 sin (arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1) = 3

Affinare

3 = 3

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1

Per

2 sin (x) - 3 cos (x) = 3

inserisci la

x = - arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1

2 sin (- arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{5}{13}) + 2 π 1) = 3

Affinare

- 0.69230 \dots = 3

\Rightarrow Falso

x = π + 2 πn, x = arccos (- \frac{5}{13}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = π + 2 πn, x = 1.96558 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin(x)+cos(x)=(sqrt(2))/2