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受欢迎的三角函数 >

4sin(2θ)-5sin(θ)=0

解答

4 sin (2 θ) - 5 sin (θ) = 0

解答

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.89566 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.89566 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 51.31781 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 308.68218 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

4 sin (2 θ) - 5 sin (θ) = 0

使用三角恒等式改写

4 sin (2 θ) - 5 sin (θ)

使用倍角公式:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 4 \cdot 2 sin (θ) cos (θ) - 5 sin (θ)

化简

= 8 sin (θ) cos (θ) - 5 sin (θ)

- 5 sin (θ) + 8 cos (θ) sin (θ) = 0

分解

- 5 sin (θ) + 8 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (8 cos (θ) - 5)

- 5 sin (θ) + 8 cos (θ) sin (θ)

因式分解出通项

sin (θ)

= sin (θ) (- 5 + 8 cos (θ))

sin (θ) (8 cos (θ) - 5) = 0

分别求解每个部分

sin (θ) = 0 or 8 cos (θ) - 5 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

sin (θ) = 0

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

解

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

8 cos (θ) - 5 = 0 : θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

8 cos (θ) - 5 = 0

将

5

到右边

8 cos (θ) - 5 = 0

两边加上

5

8 cos (θ) - 5 + 5 = 0 + 5

化简

8 cos (θ) = 5

8 cos (θ) = 5

两边除以

8

8 cos (θ) = 5

两边除以

8

\frac{8 cos ( θ )}{8} = \frac{5}{8}

化简

cos (θ) = \frac{5}{8}

cos (θ) = \frac{5}{8}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{5}{8}

cos (θ) = \frac{5}{8}

的通解

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

合并所有解

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.89566 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.89566 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

sin^2(x)-cos^2(x)=sin(x)

4cos(2θ)+11sin(θ)-4=3

(cot(θ)+1)(csc(θ)-1/2)=0