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Popolare Trigonometria >

3sin(x)+cos(x)=1

Soluzione

3 sin (x) + cos (x) = 1

Soluzione

x = 2.49809 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Gradi

x = 143.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

3 sin (x) + cos (x) = 1

Sottrarre

cos (x)

da entrambi i lati

3 sin (x) = 1 - cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(3 sin (x))^{2} = (1 - cos (x))^{2}

Sottrarre

(1 - cos (x))^{2}

da entrambi i lati

9 sin^{2} (x) - 1 + 2 cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Semplificare

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos (x) - 10 cos^{2} (x) + 8

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Espandi

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Semplifica

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 10 cos^{2} (x) + 8

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 1 + 9

Aggiungi elementi simili:

- cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 10 cos^{2} (x)

= - 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 + 9

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 9 = 8

= 2 cos (x) - 10 cos^{2} (x) + 8

= 2 cos (x) - 10 cos^{2} (x) + 8

= 2 cos (x) - 10 cos^{2} (x) + 8

8 - 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) = 0

Risolvi per sostituzione

8 - 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

8 - 10 u^{2} + 2 u = 0

8 - 10 u^{2} + 2 u = 0 : u = - \frac{4}{5}, u = 1

8 - 10 u^{2} + 2 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 2 u + 8 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 10 u^{2} + 2 u + 8 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 10, b = 2, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

2^{2} - 4 (- 10) \cdot 8 = 18

2^{2} - 4 (- 10) \cdot 8

Applicare la regola

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Aggiungi i numeri:

4 + 320 = 324

= 324

Fattorizzare il numero:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Applicare la regola della radice:

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 18}{2 ( - 10 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 2 + 18}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 18}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 2 + 18}{2 ( - 10 )} : - \frac{4}{5}

\frac{- 2 + 18}{2 ( - 10 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 18}{- 2 \cdot 10}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 2 + 18 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 10}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{16}{- 20}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{20}

Cancella il fattore comune:

4

= - \frac{4}{5}

u = \frac{- 2 - 18}{2 ( - 10 )} : 1

\frac{- 2 - 18}{2 ( - 10 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 18}{- 2 \cdot 10}

Sottrai i numeri:

- 2 - 18 = - 20

= \frac{- 20}{- 2 \cdot 10}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 20}{- 20}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{20}{20}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{4}{5}, u = 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{4}{5}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{4}{5}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{4}{5} : x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{4}{5}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{4}{5}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{4}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluzioni generali per

cos (x) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

3 sin (x) + cos (x) = 1

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Vero

arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Per

3 sin (x) + cos (x) = 1

inserisci la

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) + cos (arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1

Affinare

1 = 1

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Per

3 sin (x) + cos (x) = 1

inserisci la

x = - arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) + cos (- arccos (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1

Affinare

- 2.6 = 1

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

2 πn :

Vero

2 πn

Inserire in

n = 1

2 π 1

Per

3 sin (x) + cos (x) = 1

inserisci la

x = 2 π 1

3 sin (2 π 1) + cos (2 π 1) = 1

Affinare

1 = 1

\Rightarrow Vero

x = arccos (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 2.49809 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Grafico

Esempi popolari

2cos(θ)-3=-2

2sin(1/2 x)=1,0<= x<= 12

2sin(pi/4+x)*sin(pi/4-x)+sin^2(x)=0

(2sin(x)-1)(cos(x)+1)=0

7sin^2(x)-6=-3sin^2(x)