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Beliebt Trigonometrie >

csc^3(x)+csc^2(x)=2csc(x)+2

Lösung

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = 2 csc (x) + 2

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = 2 csc (x) + 2

Löse mit Substitution

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = 2 csc (x) + 2

Angenommen:

csc (x) = u

u^{3} + u^{2} = 2 u + 2

u^{3} + u^{2} = 2 u + 2 : u = - 1, u = - 2, u = 2

u^{3} + u^{2} = 2 u + 2

Verschiebe

2

auf die linke Seite

u^{3} + u^{2} = 2 u + 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u^{3} + u^{2} - 2 = 2 u + 2 - 2

Vereinfache

u^{3} + u^{2} - 2 = 2 u

u^{3} + u^{2} - 2 = 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

u^{3} + u^{2} - 2 = 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

u^{3} + u^{2} - 2 - 2 u = 2 u - 2 u

Vereinfache

u^{3} + u^{2} - 2 - 2 u = 0

u^{3} + u^{2} - 2 - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + u^{2} - 2 u - 2 = 0

Faktorisiere

u^{3} + u^{2} - 2 u - 2 : (u + 1) (u + 2) (u - 2)

u^{3} + u^{2} - 2 u - 2

= (u^{3} + u^{2}) + (- 2 u - 2)

Klammere

- 2

aus

- 2 u - 2

aus

: - 2 (u + 1)

- 2 u - 2

Klammere gleiche Terme aus

- 2

= - 2 (u + 1)

Klammere

u^{2}

aus

u^{3} + u^{2}

aus

: u^{2} (u + 1)

u^{3} + u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= - 2 (u + 1) + u^{2} (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (u^{2} - 2)

Faktorisiere

u^{2} - 2 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 2

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= u^{2} - (2)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (2)^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u + 1) (u + 2) (u - 2)

(u + 1) (u + 2) (u - 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u = - 2

u = - 2

Löse

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

Die Lösungen sind

u = - 1, u = - 2, u = 2

Setze in

u = csc (x)

ein

csc (x) = - 1, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = - 1, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

csc (x) = - 1

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (x) = - 2

Allgemeine Lösung für

csc (x) = - 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (x) = 2

Allgemeine Lösung für

csc (x) = 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(w)+cos(w)-3=0

2 cos^{2} (w) + cos (w) - 3 = 0

csc(2x)=(sqrt(3))/2

csc (2 x) = \frac{3}{2}

4e^{cos(x)}=3

4 e^{c o s (x)} = 3

sin(x)(2sin(x)+1)=2

sin (x) (2 sin (x) + 1) = 2

sin(40-x)=cos(3x)

sin (4 0^{\circ} - x) = cos (3 x)