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Beliebt Trigonometrie >

cos(θ)(cos(θ)-2)=1,-180<= θ<= 180

Lösung

cos (θ) (cos (θ) - 2) = 1, - 18 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

Lösung

θ = 1.99787 \dots, θ = - 1.99787 \dots

Schritte zur Lösung

cos (θ) (cos (θ) - 2) = 1, - 18 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

Löse mit Substitution

cos (θ) (cos (θ) - 2) = 1

Angenommen:

cos (θ) = u

u (u - 2) = 1

u (u - 2) = 1 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

u (u - 2) = 1

Schreibe

u (u - 2)

um:

u^{2} - 2 u

u (u - 2)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = u, c = 2

= uu - u \cdot 2

= uu - 2 u

uu = u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

= u^{2} - 2 u

u^{2} - 2 u = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

u^{2} - 2 u = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u^{2} - 2 u - 1 = 1 - 1

Vereinfache

u^{2} - 2 u - 1 = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1 + 2, cos (θ) = 1 - 2

cos (θ) = 1 + 2, cos (θ) = 1 - 2

cos (θ) = 1 + 2, - 18 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ} :

Keine Lösung

cos (θ) = 1 + 2, - 18 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = 1 - 2, - 18 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ} : θ = arccos (1 - 2), θ = - arccos (1 - 2)

cos (θ) = 1 - 2, - 18 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = 1 - 2

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1 - 2

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 36 0^{\circ} n, x = - arccos (- a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (1 - 2) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (1 - 2) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (1 - 2) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (1 - 2) + 36 0^{\circ} n

Lösungen für den Bereich

- 18 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

θ = arccos (1 - 2), θ = - arccos (1 - 2)

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (1 - 2), θ = - arccos (1 - 2)

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.99787 \dots, θ = - 1.99787 \dots

Graph

Beliebte Beispiele

sin(39)+sin(21)=sin(a)

sin (3 9^{\circ}) + sin (2 1^{\circ}) = sin (a^{\circ})

arctan(4x-4)=-1

arctan (4 x - 4) = - 1

tan^2(x+pi/6)=3

tan^{2} (x + \frac{π}{6}) = 3

cos(θ)cos(2θ)+sin(θ)sin(2θ)=(sqrt(3))/2

cos (θ) cos (2 θ) + sin (θ) sin (2 θ) = \frac{3}{2}

3cos(2x)-2cos(x)-1=0

3 cos (2 x) - 2 cos (x) - 1 = 0